Dar domínio, imagem e gráfico da função dada por: f(x)=\left|\frac{1}{(x-1)^{2}}-1\right|
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\left|\dfrac{1}{(x-1)^{2}}-1\right|
e pede três coisas: o domínio, a imagem (conjunto-valor) e o gráfico (descrição do comportamento/forma da curva). Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
A expressão tem denominador (x-1)^{2}, logo x=1 anula o denominador (não está definida aí).
A presença do valor absoluto indica que a expressão interna pode ser positiva ou negativa e que o resultado final será sempre \ge 0.
Nada mais foi fornecido; todas as conclusões devem vir da análise da própria fórmula.
Passo 2
Para entender a função é útil estudar a expressão dentro do valor absoluto. Defino
g(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}-1.
Vou determinar onde g(x)\ge 0 e onde g(x)<0, porque isso muda a forma da função quando tiro o valor absoluto.
Isto mostra que x=1 é uma assíntota vertical (a função explode para +\infty dos dois lados).
Limite quando x\to\pm\infty. Neste caso (x-1)^{2}\to +\infty e \dfrac{1}{(x-1)^{2}}\to 0. Então g(x)\to -1 e, tomando o valor absoluto,
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=|{-1}|=1.
Portanto y=1 é uma assíntota horizontal (a função aproxima-se de 1 quando x\to\pm\infty).
Passo 6
Derivadas e monotonicidade (explico as regras rápidas usadas: derivada de (x-1)^{-2} é -2(x-1)^{-3} por regra da potência + cadeia).
Para x\in(0,1)\cup(1,2) temos f(x)=(x-1)^{-2}-1. Derivando,
f'(x)=-2(x-1)^{-3}=-\dfrac{2}{(x-1)^{3}}.
Para x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty) temos f(x)=1-(x-1)^{-2}. Derivando,
f'(x)=2(x-1)^{-3}=\dfrac{2}{(x-1)^{3}}.
Análise do sinal de f':
Em (0,1): x-1<0 implica (x-1)^{3}<0, então f'(x)=-2/(x-1)^{3}>0. Logo f é estritamente crescente em (0,1).
Em (1,2): x-1>0 implica (x-1)^{3}>0, então f'(x)<0. Logo f é estritamente decrescente em (1,2).
Em (-\infty,0): x-1<0 então (x-1)^{3}<0, e f'(x)=2/(x-1)^{3}<0. Logo f é decrescente em (-\infty,0).
Em (2,\infty): x-1>0 então f'(x)>0. Logo f é crescente em (2,\infty).
Conclusões práticas: a função decresce vindo de +\infty até atingir f(0)=0, sobe de 0 até +\infty em x\to 1^-, depois desce de +\infty para f(2)=0, e por fim sobe novamente para aproximar 1 quando x\to+\infty. Em x=0 e x=2 a derivada lateral muda de sinal (canto/canto agudo) — a função não é diferenciável nesses pontos mas é contínua.
Passo 7
Simetria e valores amostra. Note que f depende apenas de (x-1)^{2}, então f(1+t)=f(1-t) para todo t. Isso significa simetria em relação à reta vertical x=1.
Alguns pontos numéricos úteis (com aproximações) para visualizar:
Esses pontos confirmam a forma: zeros em 0 e 2, crescimento rápido para +\infty perto de x=1, e aproximação a 1 nas extremidades.
Passo 8
Determinação da imagem (conjunto-valor). Observações chave:
f(x)\ge 0 para todo x (valor absoluto).
Existem pontos com f(x)=0 (por exemplo x=0 e x=2), logo 0 pertence à imagem.
Para x\to 1 a função tende a +\infty, logo não existe limite superior finito: a função atinge valores arbitrariamente grandes.
Combinando: a imagem é todo o intervalo [0,\infty).
Passo 9
Descrição final do gráfico (resumo visual, para desenhar à mão na prova):
Domínio: todas as retas reais exceto x=1, onde há uma assíntota vertical.
Assíntotas: vertical em x=1; horizontal em y=1.
Zeros: em x=0 e x=2 a função vale 0.
Simetria: simétrica em relação à reta x=1 (porque depende de (x-1)^{2}).
Comportamento por trechos:
Para x<0: a curva vem de y\to 1^{-} quando x\to -\infty, é decrescente, chega a f(0)=0.
Para 0<x<1: a curva sobe de 0 até +\infty quando x\to 1^{-}.
Para 1<x<2: desce de +\infty até 0 em x=2.
Para x>2: sobe de 0 e aproxima y=1 por baixo quando x\to+\infty.
Em x=0 e x=2 há pontos de mínimo global (valor 0) com “cantos” (derivadas laterais opostas).
Resposta
Domínio: \mathbb{R}\setminus\{1\}
Imagem: [0,\infty)
Gráfico: curva simétrica em relação a x=1; assíntota vertical em x=1; assíntota horizontal em y=1; zeros em x=0 e x=2; cresce para +\infty quando x\to1^\pm; aproxima y=1 quando x\to\pm\infty.