Dar a equação da reta \frac{x-1}{2}=y=-z na forma vetorial.

Passo 1

O enunciado dá a reta em forma simétrica
\frac{x-1}{2} \;=\; y \;=\; -\,z
e pede a forma vetorial. O conteúdo aqui é reta em \mathbb{R}^3, onde a forma simétrica
\tfrac{x-x_0}{a} = \tfrac{y-y_0}{b} = \tfrac{z-z_0}{c} pode ser convertida em forma paramétrica e, daí, em forma vetorial.

Passo 2

Introduzimos um parâmetro t igual àquela razão comum:
\frac{x-1}{2} \;=\; y \;=\; -\,z \;=\; t.

Passo 3

A partir disso obtemos as equações paramétricas:
x-1 = 2t \quad\Rightarrow\quad x = 1 + 2t,
y = t,
-\,z = t \quad\Rightarrow\quad z = -\,t.

Passo 4

Em coordenadas, \bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(1+2t,\;t,\;-t\bigr). Logo, na forma vetorial:
\vec r(t) = \langle 1,0,0\rangle + t\,\langle 2,1,-1\rangle.

Resposta

\vec r = \langle 1,0,0\rangle + t\,\langle 2,1,-1\rangle,\quad t\in\mathbb{R}.

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