Dar exemplo de dois subgrupos H e K do S3 tais que H K não é um subgrupo do S3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dois subgrupos H e K de S₃ tais que o conjunto produto HK não seja um subgrupo de S₃. O conteúdo envolvido é teoria de grupos finitos, subgrupos e produto de subconjuntos em grupos, e vamos usar o Teorema de Lagrange para concluir.

Passo 2

No S₃ temos 6 elementos: a identidade e cinco permutações (três transposições e duas 3-ciclos). Vamos escolher dois subgrupos de ordem 2, gerados por transposições distintas.
Definimos
H=e,(12) e K=e,(13).
Cada um é um subgrupo de S₃ pois contém a identidade, o inverso dos elementos (cada transposição é seu próprio inverso) e é fechado.

Passo 3

Vamos calcular o produto
HK=h k : hin H, kin K
Os elementos são:
(e\cdot e=e,\quad e\cdot(13)=(13),\quad(12)\cdot e=(12),\quad(12)\cdot(13)=(132).
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HK=e,(12),(13),(132)
Temos 4 elementos em HK.

Passo 4

Pelo Teorema de Lagrange, toda ordem de subgrupo deve dividir a ordem do grupo. Como 4 não divide 6, não existe subgrupo de S₃ com 4 elementos. Portanto HK não é subgrupo de S₃.

Resposta

Um exemplo é
H = {e, (12)} e K = {e, (13)},

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