Dar exemplo de dois subgrupos
e
do
tais que
não é um subgrupo do
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar dois subgrupos H e K de S₃ tais que o conjunto produto HK não seja um subgrupo de S₃. O conteúdo envolvido é teoria de grupos finitos, subgrupos e produto de subconjuntos em grupos, e vamos usar o Teorema de Lagrange para concluir.
Passo 2
No S₃ temos 6 elementos: a identidade e cinco permutações (três transposições e duas 3-ciclos). Vamos escolher dois subgrupos de ordem 2, gerados por transposições distintas.
Definimos
e
.
Cada um é um subgrupo de S₃ pois contém a identidade, o inverso dos elementos (cada transposição é seu próprio inverso) e é fechado.
Definimos
Cada um é um subgrupo de S₃ pois contém a identidade, o inverso dos elementos (cada transposição é seu próprio inverso) e é fechado.
Passo 3
Vamos calcular o produto
Os elementos são:
(e\cdot e=e,\quad e\cdot(13)=(13),\quad(12)\cdot e=(12),\quad(12)\cdot(13)=(132).
]
Logo
Temos 4 elementos em HK.
Passo 4
Pelo Teorema de Lagrange, toda ordem de subgrupo deve dividir a ordem do grupo. Como 4 não divide 6, não existe subgrupo de S₃ com 4 elementos. Portanto HK não é subgrupo de S₃.
Resposta
Um exemplo é
H = {e, (12)} e K = {e, (13)},
H = {e, (12)} e K = {e, (13)},