Seja
o grupo dada pela seguinte tabela:
1
-1
i
-i
j
-j
k
-k
1
1
-1
i
-i
j
-j
k
-k
-1
-1
1
-i
i
-j
j
-k
k
i
i
-i
-1
1
k
-k
-j
j
-i
-i
i
1
-1
-k
k
j
-j
j
j
-j
-k
k
-1
1
i
-i
-j
-j
j
k
-k
1
-1
-i
i
k
k
-k
j
-j
-i
i
-1
1
-k
-k
k
-j
j
i
-i
1
-1
a. Seja
. Determine as classes laterais à esquerda e à direita de
.
?
b. Seja
. Considere o automorfismo interno
. Sem fazer contas, diga quem é
.
c. Seja
. Sem calcular classes laterais, decida se
.
|
1 | -1 | i | -i | j | -j | k | -k |
1 | 1 | -1 | i | -i | j | -j | k | -k |
-1 | -1 | 1 | -i | i | -j | j | -k | k |
i | i | -i | -1 | 1 | k | -k | -j | j |
-i | -i | i | 1 | -1 | -k | k | j | -j |
j | j | -j | -k | k | -1 | 1 | i | -i |
-j | -j | j | k | -k | 1 | -1 | -i | i |
k | k | -k | j | -j | -i | i | -1 | 1 |
-k | -k | k | -j | j | i | -i | 1 | -1 |
b. Seja
c. Seja
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com o grupo de quaternions
, definir as classes laterais de
, verificar se
é normal, responder o que vale
para o automorfismo interno
, e decidir se
é normal.
Passo 2
Precisamos lembrar que para qualquer subgrupo
as classes laterais à esquerda são
e à direita são
. Como
e
comuta com todos em
, temos
Como cada classe lateral à esquerda coincide com a correspondente à direita, concluímos que
Passo 3
Para o automorfismo interno
, como todo
comuta com
, tem-se
. Assim
Passo 4
Finalmente,
tem índice 2 em
(pois
e
), e qualquer subgrupo de índice 2 é normal. Portanto
também é normal em
.
Resposta
a. As classes laterais são
(mesmo para as classes à direita), logo
. b.
. c.
.