Seja G o grupo dada pela seguinte tabela:
r|rrrrrrrr $cdot$ & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k hline 1 & 1 & -1 & i & -i & j & -j & k & -k -1 & -1 & 1 & -i & i & -j & j & -k & k i & i & -i & -1 & 1 & k & -k & -j & j -i & -i & i & 1 & -1 & -k & k & j & -j j & j & -j & -k & k & -1 & 1 & i & -i -j & -j & j & k & -k & 1 & -1 & -i & i k & k & -k & j & -j & -i & i & -1 & 1 -k & -k & k & -j & j & i & -i & 1 & -1 1 -1 i -i j -j k -k
1 1 -1 i -i j -j k -k
-1 -1 1 -i i -j j -k k
i i -i -1 1 k -k -j j
-i -i i 1 -1 -k k j -j
j j -j -k k -1 1 i -i
-j -j j k -k 1 -1 -i i
k k -k j -j -i i -1 1
-k -k k -j j i -i 1 -1
a. Seja H=1,-1. Determine as classes laterais à esquerda e à direita de H. H triang<=<=ft G ?
b. Seja g in G. Considere o automorfismo interno Ig: G G. Sem fazer contas, diga quem é Ig(H).
c. Seja K=1,-1, i,-i. Sem calcular classes laterais, decida se K triang<=<=ft G.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o grupo de quaternions G=pm1,pm i,pm j,pm k, definir as classes laterais de H=1,-1, verificar se H é normal, responder o que vale Ig(H) para o automorfismo interno Ig(x)=gxg^-1, e decidir se K=1,-1,i,-i é normal.

Passo 2

Precisamos lembrar que para qualquer subgrupo H as classes laterais à esquerda são gH=g h: hin H e à direita são Hg=h g: hin H. Como H=1,-1 e -1 comuta com todos em G, temos
1H=H=1,-1, iH=i,-i, jH=j,-j, kH=k,-k,

Como cada classe lateral à esquerda coincide com a correspondente à direita, concluímos que H1=H=1,-1, Hi=i,-i, Hj=j,-j, Hk=k,-k é normal em H.

Passo 3

Para o automorfismo interno Ig(x)=gxg^-1, como todo hin H comuta com g, tem-se Ig(h)=ghg^-1=h. Assim
Ig(H)=H

Passo 4

Finalmente, K=1,-1,i,-i tem índice 2 em G (pois |G|=8 e |K|=4), e qualquer subgrupo de índice 2 é normal. Portanto K também é normal em G.

Resposta

a. As classes laterais são 1H=H=1,-1,;iH=i,-i,;jH=j,-j,;kH=k,-k (mesmo para as classes à direita), logo Htriang<=<=ft G. b. Ig(H)=H. c. Ktriang<=<=ft G.

Exercícios relacionados