Seja
o grupo de Klein e
. Determine o grupo quociente
e construa sua tabela.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o grupo quociente de Klein, ou seja, as classes laterais de H em G, montar G/H e dar sua tabela. Isso envolve conhecer cosets e o fato de que H tem índice 2 em G, logo G/H terá ordem 2.
Passo 2
Como G={e,a,b,c} com a2=b2=c^2=e e operações ab=c etc., e H={e,b}, calculamos as duas classes laterais:
A classe H é H mesmo:
A classe H é H mesmo:
Passo 3
Para a, temos aH={a,ab}={a,c}. Assim as duas classes são H e aH, não há outras porque G tem 4 elementos e H tem 2.
O conjunto quociente é G/H={H,,aH}. A operação em G/H vem do produto de cosets:
O conjunto quociente é G/H={H,,aH}. A operação em G/H vem do produto de cosets:
Passo 4
Montando a tabela de Cayley de G/H:
Resposta
O grupo quociente G/H tem dois elementos {H, aH} e é isomorfo a Z_2, com tabela dada acima.