Seja G=e, a, b, c o grupo de Klein e H=e, b. Determine o grupo quociente G / H e construa sua tabela.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o grupo quociente de Klein, ou seja, as classes laterais de H em G, montar G/H e dar sua tabela. Isso envolve conhecer cosets e o fato de que H tem índice 2 em G, logo G/H terá ordem 2.

Passo 2

Como G={e,a,b,c} com a2=b2=c^2=e e operações ab=c etc., e H={e,b}, calculamos as duas classes laterais:
A classe H é H mesmo:
H= eH=e,b

Passo 3

Para a, temos aH={a,ab}={a,c}. Assim as duas classes são H e aH, não há outras porque G tem 4 elementos e H tem 2.
O conjunto quociente é G/H={H,,aH}. A operação em G/H vem do produto de cosets:
Hcdot H = H, Hcdot aH = aH, aHcdot H = aH, aHcdot aH = a^2H = eH = H

Passo 4

Montando a tabela de Cayley de G/H:
c|cc cdot & H & aH hline H & H & aH aH & aH & H

Resposta

O grupo quociente G/H tem dois elementos {H, aH} e é isomorfo a Z_2, com tabela dada acima.

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