Seja
um grupo,
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um subgrupo de
. Aqui sabemos que
é normal em
e que
é subgrupo de
. Para resolver, vamos usar o critério de subgrupo que diz: um subconjunto
de um grupo é subgrupo se para todos
tivermos
.
Passo 2
Primeiro, observe que
e
contêm o elemento identidade
de
, então
também contém
, logo
é não vazio.
Passo 3
Sejam agora dois elementos arbitrários
. Podemos escrever
com
e
.
Passo 4
Vamos mostrar que
. Primeiro calculemos
:
Como
é normal, temos
e
pertence a
. Logo podemos escrever
Passo 5
Agora multipliquemos
por
:
De novo, usando a normalidade de
, temos
com
. Substituindo,
Aqui
e
, logo
.
Passo 6
Como para todo
temos
, pelo critério de subgrupo concluímos que
é subgrupo de
.