Seja G um grupo, H triang<=<=ft G e K. Mostre que H K.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
H K = h k mid hin H,;kin K
é um subgrupo de G. Aqui sabemos que H é normal em G e que K é subgrupo de G. Para resolver, vamos usar o critério de subgrupo que diz: um subconjunto S de um grupo é subgrupo se para todos x,yin S tivermos x y^-1in S.

Passo 2

Primeiro, observe que H e K contêm o elemento identidade e de G, então HK também contém e = ecdot e, logo HK é não vazio.

Passo 3

Sejam agora dois elementos arbitrários a,bin HK. Podemos escrever
a = h1 k1, b = h2 k2
com h1,h2in H e k1,k2in K.

Passo 4

Vamos mostrar que a b^-1in HK. Primeiro calculemos b^-1:
b^-1 = (h2 k2)^-1 = k2^-1 h2^-1
Como H é normal, temos
k2^-1 h2^-1 = (k2^-1 h2^-1 k2);k2^-1,
e k2^-1 h2^-1 k2 pertence a H. Logo podemos escrever
b^-1 = h' k2^-1, h'in H

Passo 5

Agora multipliquemos a por b^-1:
a b^-1 = h1 k1 ; h' k2^-1
De novo, usando a normalidade de H, temos
k1 h' = (k1 h' k1^-1);k1 = h'' k1,
com h''in H. Substituindo,
a b^-1 = h1 (h'' k1) k2^-1 = (h1 h'') (k1 k2^-1)
Aqui h1 h''in H e k1 k2^-1in K, logo a b^-1in HK.

Passo 6

Como para todo a,bin HK temos a b^-1in HK, pelo critério de subgrupo concluímos que HK é subgrupo de G.

Resposta

HK é subgrupo de G, ou seja, HK< G.

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