Seja T o grupo dado pela seguinte tabela:
c|cccccc $cdot$ & $e$ & $a$ & $b$ & $r$ & $s$ & $t$ hline e & $e$ & $a$ & $b$ & $r$ & $s$ & $t$ a & a & b & e & t & r & s b & b & e & a & s & t & r r & r & s & t & e & a & b s & s & t & r & b & e & a t & t & r & s & a & b & e T Ia T T K=e, a, b T K triang<=<=ft T
e
a a b e t r s
b b e a s t r
r r s t e a b
s s t r b e a
t t r s a b e
a. Diga quem é a imagem de cada elemento de pelo automorfismo interno : .
b. Considere , subgrupo de . Sem calcular classes laterais, decida se .

Passo 1

Resumo do enunciado: O exercício trata de um grupo T de ordem 6 dado por uma tabela. No item (a) pedem para achar a imagem de cada elemento pelo automorfismo interno Ia(x)=a x a^-1. No item (b) pedem para decidir se o subgrupo K=e,a,b é normal em T sem usar classes laterais.

Passo 2

Vamos lembrar que um automorfismo interno por a é dado por Ia(x)=a x a^-1. Da tabela vemos que a^-1=b, pois acdot b=e. Logo Ia(x)=a x b. Basta computar para cada xin T o produto acdot x e depois .

Passo 3

Calculemos o item (a):
Para x=e:
$$I_{a}(e)=a,e,b=(a\cdot e)\cdot b=a\cdot b=e.
Ia(e)=a,e,b=(acdot e)cdot b=acdot b=e I_{a}(a)=a,a,b=(a\cdot a)\cdot b=b\cdot b=a.
x=aI_{a}(b)=a,b,b=(a\cdot b)\cdot b=e\cdot b=b.
Ia(a)=a,a,b=(acdot a)cdot b=bcdot b=a I_{a}®=a,r,b=(a\cdot r)\cdot b=t\cdot b=s.
x=bI_{a}(s)=a,s,b=(a\cdot s)\cdot b=r\cdot b=t.
Ia(b)=a,b,b=(acdot b)cdot b=ecdot b=b I_{a}(t)=a,t,b=(a\cdot t)\cdot b=s\cdot b=r.
$$

Passo 4

Para o item (b), lembramos que todo subgrupo de índice 2 é normal, pois só existem duas classes laterais e elas se coincidem. Aqui |K|=3 e |T|=6, logo o índice [T:K]=2. Portanto Ktriang<=<=ft T.

Resposta

a. As imagens são Ia(e)=e, Ia(a)=a, Ia(b)=b, Ia(r)=s, Ia(s)=t, Ia(t)=r. b. O subgrupo K=e,a,b é normal em T.

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