Seja
o grupo dado pela seguinte tabela:
e
a
a
b
e
t
r
s
b
b
e
a
s
t
r
r
r
s
t
e
a
b
s
s
t
r
b
e
a
t
t
r
s
a
b
e
a. Diga quem é a imagem de cada elemento de
pelo automorfismo interno
:
.
b. Considere
, subgrupo de
. Sem calcular classes laterais, decida se
.
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e |
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a | a | b | e | t | r | s |
b | b | e | a | s | t | r |
r | r | s | t | e | a | b |
s | s | t | r | b | e | a |
t | t | r | s | a | b | e |
b. Considere
Passo 1
Resumo do enunciado: O exercício trata de um grupo
de ordem 6 dado por uma tabela. No item (a) pedem para achar a imagem de cada elemento pelo automorfismo interno
. No item (b) pedem para decidir se o subgrupo
é normal em
sem usar classes laterais.
Passo 2
Vamos lembrar que um automorfismo interno por
é dado por
. Da tabela vemos que
, pois
. Logo
. Basta computar para cada
o produto
e depois
.
Passo 3
Calculemos o item (a):
Para :
Para
$$I_{a}(e)=a,e,b=(a\cdot e)\cdot b=a\cdot b=e.
$$
Passo 4
Para o item (b), lembramos que todo subgrupo de índice 2 é normal, pois só existem duas classes laterais e elas se coincidem. Aqui
e
, logo o índice
. Portanto
.
Resposta
a. As imagens são
,
,
,
,
,
. b. O subgrupo
é normal em
.