Dar um exemplo de integração por partes.

Passo 1

Nesse exercício, vamos usar o método de integração por partes para calcular a integral de x e^x. O conteúdo é integração por partes, e vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u v - integral v,du
além de escolher apropriadamente as funções u e dv.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, precisamos escolher u e dv. Uma escolha clássica é:
u = x, dv = e^x ,dx
porque ao derivar u simplifica e ao integrar dv mantemos uma função conhecida.

Passo 3

Calculamos agora du e v:
du = d(x) = 1 ,dx, v = integral e^x ,dx = e^x
Aqui usamos que a derivada de x é 1 e a integral de e^x é e^x.

Passo 4

Substituímos na fórmula de integração por partes:
integral x e^x ,dx = u v - integral v,du = x e^x - integral e^x cdot 1 ,dx
Note que o segundo termo é agora uma integral simples de e^x.

Passo 5

Calculamos a integral restante:
integral e^x ,dx = e^x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Portanto, juntando tudo, obtemos:
integral x e^x ,dx = x e^x - e^x + C
que é a resposta final para a nossa integral por partes.

Resposta

integral x e^x ,dx = x e^x - e^x + C

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