QUESTÃO 3 (Valor: 2,5 pts ): Determine as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função abaixo:
f(x)=raiz2 x^2+13 x-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as assíntotas horizontal e vertical da função $ f(x) = \frac{\sqrt{2x^{2}} + 1}{3x - 5} $. Vamos usar os conceitos de limites e análise de funções racionais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. Ela ocorre onde o denominador da função é zero, pois nesse ponto a função tende a infinito ou menos infinito. Então, vamos resolver a equação do denominador:
3x - 5 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação $ 3x - 5 = 0 $:
3x - 5 = 0
Então, a assíntota vertical é a reta $ x = \frac{5}{3} $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Ela é determinada pelo comportamento da função quando $ x $ tende a $ \infty $ ou $ -\infty $. Para isso, vamos calcular o limite da função quando $ x $ cresce sem limites.
Primeiro, simplificamos a função:
x
Sabemos que $ \sqrt{2x^{2}} = |x|\sqrt{2} $. Para valores grandes de $ x $:
infty
Simplificando:
-infty
Agora, analisamos o comportamento para $ x $ tendendo a $ \infty $ e $ -\infty $:
  • Para $ x \to \infty $:
x
  • Para $ x \to -\infty $:
f(x) = raiz2x^2 + 13x - 5
Então, existem duas assíntotas horizontais:
raiz2x^2 = |x|raiz2

Resposta

A assíntota vertical é $ x = \frac{5}{3} $ e as assíntotas horizontais são $ y = \frac{\sqrt{2}}{3} $ e $ y = -\frac{\sqrt{2}}{3} $.

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