Escrever exemplos de integração por frações parciais.

Passo 1

Vamos ver dois exemplos de integração por frações parciais. O procedimento geral é: fatorar o denominador, decompor a função racional em frações simples, determinar as constantes comparando coeficientes e, por fim, integrar cada termo separadamente.

Passo 2

No primeiro exemplo, calcule
integral 3x+5(x-1)(x+2),dx
O denominador fatora em lineares distintos, então escrevemos
3x+5(x-1)(x+2) = Ax-1 + Bx+2
Multiplicando por (x-1)(x+2) obtemos
3x+5 = A(x+2) + B(x-1) = (A+B)x + (2A - B)
Comparando coeficientes:
A + B = 3, 2A - B = 5
de onde A=2 e B=1. Assim
integral 3x+5(x-1)(x+2),dx = 2integral 1x-1,dx + integral 1x+2,dx = 2lnlvert x-1rvert + lnlvert x+2rvert + C

Passo 3

No segundo exemplo, calcule
integral x^2+1x(x^2+4),dx
O denominador é o produto de x e um quadrático irreduzível, então propomos
x^2+1x(x^2+4) = Ax + Bx + Cx^2+4
Multiplicando por x(x^2+4) vem
x^2+1 = A(x^2+4) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + 4A
Comparando:
A + B = 1, C = 0, 4A = 1 ;Rightarrow; A = tfrac14,; B = tfrac34
Logo a integral separa-se em
tfrac14 integral 1x,dx + tfrac34 integral xx^2+4,dx
A primeira parte é tfrac14lnlvert xrvert. Na segunda, use u = x^2+4, du = 2x,dx, obtendo
tfrac34 integral xx^2+4,dx = tfrac34 cdot tfrac12 integral 1u,du = tfrac38 ln(u) = tfrac38 ln(x^2+4)
Somando:
tfrac14 lnlvert xrvert + tfrac38 ln(x^2+4) + C

Passo 4

Em ambas as integrais o segredo foi escrever a decomposição certa, comparar coeficientes para achar as constantes e então usar integrais básicas de ln ou substituição simples.

Resposta

Exemplo 1:
integral 3x+5(x-1)(x+2),dx = 2lnlvert x-1rvert + lnlvert x+2rvert + C
Exemplo 2:
integral x^2+1x(x^2+4),dx = 14 lnlvert xrvert + 38 ln(x^2+4) + C

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