Dar um exemplo de integração de radicais do tipo raiza^2+t^2, raiza^2-t^2, raizt^2-a^2, onde a neq 0 é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de integrais que envolvam radicais dos tipos raiza^2+t^2, raiza^2-t^2 e raizt^2-a^2, com aneq0 constante. O conteúdo principal aqui são as substituições trigonométricas ou hiperbólicas para simplificar o radical. Vamos escolher para cada caso a substituição que torna o integrando um polinômio em funções trigonométricas ou hiperbólicas fáceis de integrar.

Passo 2

Exemplo para integral raiza^2+t^2;dt.
  1. Use a substituição hiperbólica
t = asinh u, dt = acosh u;du,
de modo que
raiza^2+t^2 = raiza^2+a^2sinh^2u = acosh u
  1. O integral vira
integral raiza^2+t^2;dt = integral (acosh u),(acosh u);du = a^2integral cosh^2u;du
  1. Use cosh^2u = tfrac1+cosh2u2 e integre:
a^2integral cosh^2u;du = a^22integral (1+cosh2u);du = a^22l(u+tfracsinh2u2r)+C
  1. Volte a variável t. Como u = arsinh(t/a) e sinh2u = 2sinh ucosh u = 2,(t/a)raiz1+(t/a)^2, obtemos a forma clássica:

Passo 3

Exemplo para integral raiza^2-t^2;dt.
  1. Use a substituição trigonométrica
t = asintheta, dt = acostheta;dtheta,
então
raiza^2-t^2 = raiza^2-a^2sin^2theta = acostheta
  1. O integral vira
integral raiza^2-t^2;dt = integral (acostheta),(acostheta);dtheta = a^2integral cos^2theta;dtheta
  1. Use cos^2theta = tfrac1+cos2theta2 e integre:
a^2integral cos^2theta;dtheta = a^22l(theta + tfracsin2theta2r)+C
  1. Volte a t por theta = arcsin(t/a) e sin2theta = 2sinthetacostheta = 2,(t/a)raiz1-(t/a)^2.

Passo 4

Exemplo para integral raizt^2-a^2;dt.
  1. Use a substituição hiperbólica
t = acosh u, dt = asinh u;du,
o que dá
raizt^2-a^2 = raiza^2cosh^2u -a^2 = asinh u
  1. O integral vira
integral raizt^2-a^2;dt = integral (asinh u),(asinh u);du = a^2integral sinh^2u;du
  1. Use sinh^2u = tfraccosh2u-12 e integre:
a^2integral sinh^2u;du = a^22integral (cosh2u -1);du = a^22l(tfracsinh2u2 - ur)+C
  1. Volte a t por u = arcosh(t/a) e sinh2u = 2sinh ucosh u = 2,( raiz(t/a)^2-1 ),(t/a).

Resposta

integral raiza^2+t^2;dt = t2raiza^2+t^2 + a^22lnl|t + raiza^2+t^2r| + C,
integral raiza^2-t^2;dt = t2raiza^2-t^2 + a^22arcsinl(tfractar) + C,
integral raizt^2-a^2;dt = t2raizt^2-a^2 - a^22lnl|t + raizt^2-a^2r| + C

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