Seja S a superficie d’equação x^4-x^3+x y-y^2-z=0.
a. Dar uma parametrização de S.
b. Dar a equação do plano tangente a S para todo ponto de S.
c. Achar o vetor normal a S para todo ponto de S.

Passo 1

Temos a superfície S descrita implicitamente por
F(x,y,z)=x^4-x^3+xy-y^2-z=0
O conteúdo é geometria de superfícies: queremos uma parametrização de um gráfico z=f(x,y), o plano tangente usando o gradiente e o vetor normal à superfície.

Passo 2

Como podemos isolar z na equação de S, definimos parâmetros u e v tais que x=u e y=v. Então
z=u^4-u^3+u v-v^2
e a parametrização fica
r(u,v)=(u,;v,;u^4-u^3+u v-v^2)

Passo 3

Para obter o plano tangente e o vetor normal, calculamos o gradiente de F. As derivadas parciais são:
Fx=4x^3-3x^2+y,
Fy=x-2y,
Fz=-1

Passo 4

Em um ponto genérico (x0,y0,z0)in S, o plano tangente é dado por
nabla F(x0,y0,z0)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0
Substituindo as derivadas, obtemos
(4x0^3-3x0^2+y0)(x-x0)+(x0-2y0)(y-y0)- (z-z0)=0

Passo 5

O vetor normal à superfície em qualquer ponto é simplesmente o gradiente de F, ou seja,
n(x,y,z)=(Fx,;Fy,;Fz)=(4x^3-3x^2+y,;x-2y,;-1)

Resposta

a. r(u,v)=(u,;v,;u^4-u^3+u v-v^2).
b. Para (x0,y0,z0)in S, o plano tangente é
(4x0^3-3x0^2+y0)(x-x0)+(x0-2y0)(y-y0)-(z-z0)=0.
c. n(x,y,z)=(4x^3-3x^2+y,;x-2y,;-1).

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