Seja
a superficie d’equação
.
a. Dar uma parametrização de
.
b. Dar a equação do plano tangente a
para todo ponto de
.
c. Achar o vetor normal a
para todo ponto de
.
a. Dar uma parametrização de
b. Dar a equação do plano tangente a
c. Achar o vetor normal a
Passo 1
Temos a superfície S descrita implicitamente por
O conteúdo é geometria de superfícies: queremos uma parametrização de um gráfico z=f(x,y), o plano tangente usando o gradiente e o vetor normal à superfície.
Passo 2
Como podemos isolar z na equação de S, definimos parâmetros u e v tais que x=u e y=v. Então
e a parametrização fica
Passo 3
Para obter o plano tangente e o vetor normal, calculamos o gradiente de F. As derivadas parciais são:
Passo 4
Em um ponto genérico
, o plano tangente é dado por
Substituindo as derivadas, obtemos
Passo 5
O vetor normal à superfície em qualquer ponto é simplesmente o gradiente de F, ou seja,
Resposta
a.
.
b. Para , o plano tangente é
.
c. .
b. Para
c.