Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do \mathbb{R}^{3} :
V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=0\right. e \left.3 x-2 y=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede um sistema de geradores para o subespaço V = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=0 \text{ e } 3x-2y=0\}.
O conteúdo é espaços vetoriais determinados por equações lineares; vamos traduzir as duas condições em forma paramétrica.

Passo 2

A condição z=0 diz que todos os vetores de V estão no plano xy. A outra condição é
3x - 2y = 0,
que é uma reta nesse plano.

Passo 3

Da equação 3x-2y=0 isolamos y:
2y = 3x \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{3}{2}x.
Tomando x como parâmetro t, temos
(x,y,z) = \bigl(t,\tfrac{3}{2}t,0\bigr) = t\bigl(1,\tfrac{3}{2},0\bigr).

Passo 4

Para evitar frações, podemos reescrever o gerador multiplicando por 2:
\bigl(1,\tfrac{3}{2},0\bigr) = \tfrac12\,(2,3,0),
logo todo vetor de V é múltiplo de (2,3,0). Assim
V = \mathrm{span}\{(2,3,0)\}.

Resposta

Um sistema de geradores de V é
\{(2,3,0)\}.

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