Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaços de
?
Passo 1
O enunciado define
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso, precisamos checar três propriedades:
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que o vetor zero
pertence a
. Como a coordenada
desse vetor vale
, temos
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores genéricos em
,
e
. Então
cuja terceira coordenada é zero, logo o resultado está em
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
cuja terceira coordenada também é zero, de forma que
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e satisfaz fechamento sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.