Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços de \mathbb{R}^{3} ?
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=0\right\}

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid z=0\}.
Queremos verificar se W é subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Como a coordenada z desse vetor vale 0, temos
(0,0,0)\in W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores genéricos em W, (x_1,y_1,0) e (x_2,y_2,0). Então
(x_1,y_1,0)+(x_2,y_2,0) = (x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,0+0) = (x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,0),
cuja terceira coordenada é zero, logo o resultado está em W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e (x,y,0)\in W. Então
\lambda\,(x,y,0) = (\lambda x,\,\lambda y,\,\lambda\cdot0) = (\lambda x,\,\lambda y,\,0),
cuja terceira coordenada também é zero, de forma que \lambda\,(x,y,0)\in W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e satisfaz fechamento sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é de fato um subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

W é subespaço de \mathbb{R}^3.

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