Seja
a transformação linear dada por
(a) Dar uma base e a dimensão de
;
(b) Dar uma base e a dimensão de
.
(b) Dar uma base e a dimensão de
Passo 1
Resumindo, temos a transformação linear
dada por
Precisamos achar primeiro
e depois
. Para isso, vamos usar a definição de núcleo (resolver
) e de imagem (span das imagens dos vetores da base canônica de
).
Passo 2
Para
, impomos as equações
Da segunda vem
e da primeira
. Logo
Portanto
.
Passo 3
Para
, calculamos as imagens dos vetores da base canônica de
:
Os vetores
e
são linearmente independentes e já geram
. Assim
e
.
Resposta
(a) Uma base de
é
e
.
(b) Uma base de é
e
.
(b) Uma base de