Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear dada por
F(x, y, z)=(x+z, x-y) .
(a) Dar uma base e a dimensão de \operatorname{ker}(F);
(b) Dar uma base e a dimensão de \operatorname{Im}(F).

Passo 1

Resumindo, temos a transformação linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dada por
F(x,y,z)=(x+z,\;x-y).
Precisamos achar primeiro \ker(F) e depois \operatorname{Im}(F). Para isso, vamos usar a definição de núcleo (resolver F(x,y,z)=(0,0)) e de imagem (span das imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3).

Passo 2

Para \ker(F), impomos as equações
x+z=0, \quad x-y=0.
Da segunda vem y=x e da primeira z=-x. Logo
\ker(F)=\{(x,x,-x)\mid x\in\mathbb{R}\} =\operatorname{span}\{(1,1,-1)\}.
Portanto \dim(\ker(F))=1.

Passo 3

Para \operatorname{Im}(F), calculamos as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3:
F(1,0,0)=(1,1), \quad F(0,1,0)=(0,-1), \quad F(0,0,1)=(1,0).
Os vetores (1,1) e (0,-1) são linearmente independentes e já geram \mathbb{R}^2. Assim
\operatorname{Im}(F) =\operatorname{span}\{(1,1),(0,-1)\},
e \dim(\operatorname{Im}(F))=2.

Resposta

(a) Uma base de \ker(F) é \{(1,1,-1)\} e \dim(\ker(F))=1.
(b) Uma base de \operatorname{Im}(F) é \{(1,1),(0,-1)\} e \dim(\operatorname{Im}(F))=2.

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