Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços de \mathbb{R}^{3} ?
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y \in \mathbb{Q}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y\in\mathbb{Q}\}
e pede para checar se é um subespaço de \mathbb{R}^3. Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
\mathbf{0} = (0,0,0).
Aqui y = 0 e 0\in\mathbb{Q}, logo \mathbf{0}\in W. A primeira condição está OK.

Passo 3

Fechamento em adição: sejam
u = (x_1,y_1,z_1)\in W,\quad v = (x_2,y_2,z_2)\in W.
Como y_1,y_2\in\mathbb{Q}, temos y_1+y_2\in\mathbb{Q}. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
também pertence a W. A segunda condição está OK.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar: escolhemos um vetor em W,
u = (0,1,0),
e um escalar irracional, por exemplo \alpha = \sqrt{2}. Então
\alpha\,u = (0,\sqrt{2},0).
Aqui a segunda coordenada é \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}, logo \alpha u\notin W. Falha o fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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