Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços de R^3
U=(x, y, z) ; x=2 y
V=(x, y, z) ; x+z=0 e x-2 y=0
W=(x, y, z) ; x+2 y-3 z=0
U cap W
U+V+W

Passo 1

O enunciado pede sistemas de geradores para os subespaços
U=(x,y,z)inR^3mid x=2y, V=(x,y,z)inR^3mid x+z=0,;x-2y=0, W=(x,y,z)inR^3mid x+2y-3z=0,
além de Ucap W e U+V+W. Vamos parametrizar cada um para extrair vetores que gerem esses espaços.

Passo 2

Para temos . Logo
Portanto

Passo 3

Em as equações são e . Da segunda vem , da primeira . Assim
logo

Passo 4

Em temos . Logo
e

Passo 5

Para um vetor deve satisfazer simultaneamente e . Substituindo na segunda:
Logo
Para ter coordenadas inteiras, escolhemos e obtemos o gerador . Assim

Passo 6

Para tomamos todos os geradores de :
Basta extrair uma base de entre eles. Por exemplo,
, e são linearmente independentes (determinante não nulo), logo geram . Assim

Resposta





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