Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços de
e
Passo 1
O enunciado pede sistemas de geradores para os subespaços
além de
e
. Vamos parametrizar cada um para extrair vetores que gerem esses espaços.
Passo 2
Para
temos
. Logo
Portanto
Passo 3
Em
as equações são
e
. Da segunda vem
, da primeira
. Assim
logo
Passo 4
Em
temos
. Logo
e
Passo 5
Para
um vetor deve satisfazer simultaneamente
e
. Substituindo
na segunda:
Logo
Para ter coordenadas inteiras, escolhemos
e obtemos o gerador
. Assim
Passo 6
Para
tomamos todos os geradores de
:
Basta extrair uma base de
entre eles. Por exemplo,
,
e
são linearmente independentes (determinante não nulo), logo geram
. Assim