Questão 19: Prove que:
a) Se
e
são soluções do sistema linear homogêneo
, então
também é solução, para quaisquer escalares
e
.
b) Se
e
são soluções do sistema linear
e se
também é solução deste sistema para quaisquer escalares
e
, então
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado trata de sistemas lineares da forma
(homogêneo) e
(não homogêneo). Vamos usar propriedades de matrizes e de combinações lineares de vetores para mostrar que (a) o conjunto de soluções de um sistema homogêneo é fechado sob combinação linear e que (b) se duas soluções de
geram, por combinação linear arbitrária, sempre outra solução de
, então necessariamente
.
Passo 2
Prova de (a): como
e
satisfazem
, temos
Para quaisquer escalares
, use linearidade da multiplicação por escalar e da soma de vetores em matrizes:
Logo
é solução do sistema homogêneo.
Passo 3
Prova de (b): suponha que
e
são soluções de
, isto é,
e que
também satisfaz
para quaisquer
. Então
Pela hipótese, isso deve ser igual a
para todo
, ou seja,
Passo 4
Tome
e
. Então a igualdade vira
Isto mostra que
é o vetor nulo.
Resposta
a) Qualquer combinação linear
de soluções do sistema homogêneo
é também solução, pois
.
b) Se para o sistema a combinação linear
de duas soluções gera sempre outra solução, então deve valer
.
b) Se para o sistema