Questão 19: Prove que:
a) Se X1 e X2 são soluções do sistema linear homogêneo A X=0, então alpha X1+beta X2 também é solução, para quaisquer escalares alpha e beta.
b) Se X1 e X2 são soluções do sistema linear A X=B e se alpha X1+beta X2 também é solução deste sistema para quaisquer escalares alpha e beta, então B=0.

Passo 1

O enunciado trata de sistemas lineares da forma A X=0 (homogêneo) e A X=B (não homogêneo). Vamos usar propriedades de matrizes e de combinações lineares de vetores para mostrar que (a) o conjunto de soluções de um sistema homogêneo é fechado sob combinação linear e que (b) se duas soluções de A X=B geram, por combinação linear arbitrária, sempre outra solução de A X=B, então necessariamente B=0.

Passo 2

Prova de (a): como X1 e X2 satisfazem A X=0, temos
A X1=0, A X2=0
Para quaisquer escalares alpha,beta, use linearidade da multiplicação por escalar e da soma de vetores em matrizes:
A(alpha X1+beta X2) =alpha,A X1+beta,A X2 =alpha,0+beta,0 =0
Logo alpha X1+beta X2 é solução do sistema homogêneo.

Passo 3

Prova de (b): suponha que X1 e X2 são soluções de A X=B, isto é,
A X1=B, A X2=B,
e que alpha X1+beta X2 também satisfaz A X=B para quaisquer alpha,beta. Então
A(alpha X1+beta X2) =alpha,A X1+beta,A X2 =alpha,B+beta,B =(alpha+beta),B
Pela hipótese, isso deve ser igual a B para todo alpha,beta, ou seja,
(alpha+beta),B = B

Passo 4

Tome alpha=0 e beta=0. Então a igualdade vira
0cdot B = B Longrightarrow 0=B
Isto mostra que B é o vetor nulo.

Resposta

a) Qualquer combinação linear alpha X1+beta X2 de soluções do sistema homogêneo A X=0 é também solução, pois A(alpha X1+beta X2)=0.
b) Se para o sistema A X=B a combinação linear alpha X1+beta X2 de duas soluções gera sempre outra solução, então deve valer B=0.

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