Questão 20: Sejam A=[ccc1 & 0 & 5 1 & 1 & 1 0 & 1 & -4], I=[lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1], X=[lx y z] e 0=[l0 0 0]. Encontre a solução geral do sistema de equações lineares (A+4 I) X=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver o sistema homogêneo
(A+4I)X=0,
onde
A= 1 & 0 & 5[6pt] 1 & 1 & 1[6pt] 0 & 1 & -4 , I= 1 & 0 & 0[4pt] 0 & 1 & 0[4pt] 0 & 0 & 1 , X=x[3pt]y[3pt]z
O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos por eliminação de Gauss e obtenção do espaço nulo de uma matriz.]

Passo 2

Calcular A+4I somando 4 a cada entrada da diagonal de A:
A+4I = 1+4 & 0 & 5 [4pt] 1 & 1+4 & 1 [4pt] 0 & 1 & -4+4 = 5 & 0 & 5[4pt] 1 & 5 & 1[4pt] 0 & 1 & 0 ]

Passo 3

Formar o sistema (A+4I)X=0 e aplicar eliminação de Gauss. A matriz aumentada é
l[,(A+4I)mid0r] = 5 & 0 & 5 & 0[4pt] 1 & 5 & 1 & 0[4pt] 0 & 1 & 0 & 0
Fazendo R1>=ts15R1, R2>=ts R2-R1 e em seguida normalizando e eliminando, chega-se à forma equivalente
1 & 0 & 1 & 0[4pt] 0 & 1 & 0 & 0[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

O sistema reduzido corresponde a
x + z = 0,[4pt] y = 0,
com z livre. Das equações segue x=-z e y=0.]

Passo 5

Parametrizando por z=tinR, obtemos
x=-t, y=0, z=t,
ou seja
X=x[3pt]y[3pt]z =t-1[3pt]0[3pt]1 ]

Resposta

A solução geral é
X=t-1[3pt]0[3pt]1, tinR ]

Exercícios relacionados