Questão 17: Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas de equações lineares.
lx1+2 x2-3 x4+x5=0 x1+2 x2+x3-3 x4+x5+2 x6=0 x1+2 x2-3 x4+2 x5+x6=0 3 x1+6 x2+x3-9 x4+4 x5+3 x6=0

Passo 1

O enunciado pede a solução de um sistema homogêneo de quatro equações lineares em seis incógnitas x1,x2,x3,x4,x5,x6 usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para chegar à forma reduzida por linhas e então expressar a solução geral em termos de variáveis livres.

Passo 2

A matriz aumentada do sistema é
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 0 1 & 2 & 1 & -3 & 1 & 2 & 0 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & 0
Aplicando
R2 R2-R1, R3 R3-R1, R4 R4-3R1,
ficamos com
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0

Passo 3

Agora zeramos o pivô repetido em R4 subtraindo R2:
R4 R4-R2;Longrightarrow; 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0
As últimas duas linhas são idênticas, então descartamos R4. A matriz está em forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 4

Cada linha não nula dá uma equação:
x1+2x2-3x4+x5=0, x3+2x6=0, x5+x6=0
Os pivôs estão em x1,x3,x5; as variáveis x2,x4,x6 são livres.

Passo 5

Chamando
x2=s,;x4=t,;x6=u
com s,t,uinR, das equações obtemos:
x5=-u, x3=-2u, x1=-2s+3t+u
Logo a solução geral é
(x1,x2,x3,x4,x5,x6) =(-2s+3t+u,;s,;-2u,;t,;-u,;u),
com parâmetros s,t,u.

Resposta

(x1,x2,x3,x4,x5,x6) = (-2s+3t+u,;s,;-2u,;t,;-u,;u), s,t,uinR

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