Resolva as seguintes equações diferenciais lineares não-homogêneas
.
Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. Mais especificamente, temos
$$(1+x^{2}),y’ + 4x,y = (1+x{2}){-2}.
$$
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
. Dividindo tudo por
, obtemos
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
O próximo passo é calcular o fator integrante
Fazendo a substituição
,
, temos
Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. Isso nos dá
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
Aqui o fator
coincide, então
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Esse é o resultado geral da equação diferencial.
Resposta
y(x)=\frac{\arctan(x)+C}{(1+x{2}){2}}