Resolva as seguintes equações diferenciais lineares não-homogêneas a y^prime prime+b y^prime+c y=0.
(1+x^2) y^prime+4 x y=(1+x^2)^-2

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. Mais especificamente, temos
$$(1+x^{2}),y’ + 4x,y = (1+x{2}){-2}.
$$
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividindo tudo por 1+x^2, obtemos
y' + 4x1+x^2,y = (1+x^2)^-3
Aqui identificamos P(x)=tfrac4x1+x^2 e Q(x)=(1+x^2)^-3.

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral 4x1+x^2,dxr)
Fazendo a substituição u=1+x^2, du=2x,dx, temos
integral 4x1+x^2,dx=2integral duu=2ln|u|=2ln(1+x^2)
Logo
mu(x)=e^2ln(1+x^2)=(1+x^2)^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). Isso nos dá
(1+x^2)^2y' + 4x(1+x^2)y = (1+x^2)^-1
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de (1+x^2)^2y, pois
ddxl[(1+x^2)^2yr]=(1+x^2)^2y' + 2cdot2x(1+x^2)y
Aqui o fator 2cdot2x=4x coincide, então
ddxl[(1+x^2)^2yr]=(1+x^2)^-1

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
(1+x^2)^2y=integral(1+x^2)^-1dx + C=arctan(x)+C

Passo 6

Finalmente, isolamos y:
y=arctan(x)+C(1+x^2)^2
Esse é o resultado geral da equação diferencial.

Resposta

y(x)=\frac{\arctan(x)+C}{(1+x{2}){2}}

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