Resolva o problema de valor inicial:
y^prime-(tan x) y=8, y^prime=1, y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' - (tan x),y' = 8
com condições iniciais
y'(0)=1, y(0)=2
O conteúdo envolve redução de ordem por u=y', transformando em uma EDO linear de primeira ordem para u, depois integração para obter y.

Passo 2

Defina u(x)=y'(x). Então u'(x)=y''(x) e a equação torna-se
u' - (tan x),u = 8,
que é uma EDO linear de primeira ordem na forma u' + p(x)u = q(x) com p(x)=-tan x e q(x)=8.

Passo 3

Calcule o fator integrante mu(x):
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral -tan x,dxr) = expl(ln|cos x|r) = cos x
Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
(cos x),u' - (cos x)(tan x),u = 8cos x Longrightarrow ddxl(ucos xr) = 8cos x

Passo 4

Integre ambos os lados:
u(x)cos x = integral 8cos x,dx = 8sin x + C
Logo
u(x) = y'(x) = 8tan x + Csec x

Passo 5

Use a condição y'(0)=1. Como tan0=0 e sec0=1, temos
u(0) = C = 1
Portanto
y'(x) = 8tan x + sec x

Passo 6

Integre para achar y(x):
y(x) = integrall(8tan x + sec xr),dx = -8lnl|cos xr| + lnl|sec x + tan xr| + D
Use y(0)=2. Em x=0 o logaritmo soma zero, então D=2. Assim,
y(x) = -8lnl(cos xr) + lnl(sec x + tan xr) + 2

Resposta

y(x) = -8lnl(cos xr) + lnl(sec x + tan xr) + 2

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