Data: 23 de janeiro de 2025
Atenção: Todas as questões devem ser resolvidas com técnicas que você aprendeu neste curso de Cálculo 2. Respostas sem justificativa não serão consideradas. Cada questão vale 0,5 .
Sejam z=ln (1+x^2+y^2), x=sen 3 t e y=cos 3 t. Utilize a regra da cadeia para determinar d zd t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função composta onde z = ln(1 + x^2 + y^2) e as variáveis x e y dependem de t , sendo x = sin(3t) e y = cos(3t) . A matéria aqui é Cálculo 2, mais especificamente a Regra da Cadeia, que a gente usa quando uma função depende de outra função. Nosso objetivo é encontrar a derivada de z em relação a t , ou seja, dzdt .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que z depende de x e y , que por sua vez dependem de t . Então, para achar dzdt , usamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral é:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y .
Para partial zpartial x :
z = ln(1 + x^2 + y^2) partial zpartial x = 2x1 + x^2 + y^2
Para partial zpartial y :
partial zpartial y = 2y1 + x^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar dxdt e dydt .
Sabemos que:
x = sin(3t) dxdt = 3cos(3t)
E:
y = cos(3t) dydt = -3sin(3t)

Passo 5

Vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
dzdt = 2x1 + x^2 + y^2 cdot 3cos(3t) + 2y1 + x^2 + y^2 cdot (-3sin(3t))

Passo 6

Agora, substituímos x = sin(3t) e y = cos(3t) :
dzdt = 2sin(3t)1 + sin^2(3t) + cos^2(3t) cdot 3cos(3t) + 2cos(3t)1 + sin^2(3t) + cos^2(3t) cdot (-3sin(3t))

Passo 7

Simplificamos o denominador sabendo que sin^2(3t) + cos^2(3t) = 1 :
1 + sin^2(3t) + cos^2(3t) = 2
Então:
dzdt = 2sin(3t)2 cdot 3cos(3t) + 2cos(3t)2 cdot (-3sin(3t)) = sin(3t) cdot 3cos(3t) - cos(3t) cdot 3sin(3t)

Passo 8

Percebe que os termos se cancelam:
3sin(3t)cos(3t) - 3cos(3t)sin(3t) = 0

Resposta

Então, a derivada de z em relação a t é:
dzdt = 0

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