Encontre as seguintes integrais indefinidas:
integral tan ^2 a x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral tan^2(a x),dx. O assunto é integração de funções trigonométricas e vamos precisar da identidade tan^2theta = sec^2theta - 1 e também da substituição u = a x para facilitar o cálculo.

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica, reescrevemos a integral da seguinte forma:
integral tan^2(a x),dx = integral [sec^2(a x) - 1],dx
Agora separamos em duas integrais:
integral sec^2(a x),dx ;- ;integral 1,dx

Passo 3

Para a primeira integral, usamos a substituição u = a x, então du = a,dx e dx = tfracdua. Temos:
integral sec^2(a x),dx = integral sec^2(u)dua = 1aintegral sec^2(u),du = 1atan(u) = 1atan(a x)
A segunda integral é direta:
integral 1,dx = x

Passo 4

Finalmente, subtraímos o resultado da segunda integral do da primeira e adicionamos a constante de integração C.

Resposta

tfrac1atan(a x) - x + C

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