Determine a área da região sob o gráfico da função f no intervalo [a, b].
f(x)=raizx;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região abaixo do gráfico da função f(x) = raizx no intervalo de a até b . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, que é uma parte importante da matemática para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar a área sob a curva de uma função entre dois pontos, usamos a integral definida. A integral de uma função f(x) de a até b nos dá exatamente essa área.

Passo 3

Nossa função é f(x) = raizx . Podemos reescrever isso como f(x) = x^1/2 para facilitar o cálculo da integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de x^1/2 de a até b . A fórmula da integral de x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 5

Aplicando a fórmula à nossa função:
integrala^b x^1/2 , dx = [ x^(1/2)+1(1/2)+1 ]a^b
Simplificando os expoentes e os denominadores:
= [ x^3/23/2 ]a^b
= [ 23 x^3/2 ]a^b

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de a e b :
23 b^3/2 - 23 a^3/2
Isso significa que a área sob a curva de raizx de a até b é a diferença entre 23 b^3/2 e 23 a^3/2 .

Resposta

A área da região sob o gráfico de f(x) = raizx no intervalo [a, b] é:
23 ( b^3/2 - a^3/2 )

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