(Datação por carbono radiativo) Carbono extraído de um crânio b) antigo continha apenas um sexto do { }^{14} \mathrm{C} radiativo do que o carbono extraído de um osso atual. Qual a idade do crânio?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: o carbono {}^{14}\mathrm{C} extraído de um crânio antigo contém somente um sexto do {}^{14}\mathrm{C} radiativo presente em um osso atual. A pergunta é: qual a idade do crânio?
Informações relevantes fornecidas e assumidas:
  • Fração de {}^{14}\mathrm{C} restante em relação ao original (ou ao atual): \dfrac{N(t)}{N_0}=\dfrac{1}{6}.
  • Valor padrão do tempo de meia-vida do {}^{14}\mathrm{C} (que usaremos): T_{1/2}=5730 anos.

Passo 2

Conceito básico e fórmula que descreve o decaimento radioativo: a quantidade de núcleos radioativos decresce exponencialmente com o tempo segundo
N(t)=N_0 e^{-\lambda t},
onde:
  • N(t) é a quantidade (ou atividade) que resta no tempo t,
  • N_0 é a quantidade inicial (ou a quantidade em um material “atual”),
  • \lambda é a constante de decaimento (medida em \text{anos}^{-1}),
  • t é o tempo decorrido (em anos).
    Essa fórmula vem da equação diferencial básica do decaimento: \dfrac{dN}{dt}=-\lambda N, cuja solução é a exponencial acima. Não assuma nada: na prova escreva essa explicação curtinha se precisar justificar a fórmula.

Passo 3

Relação entre meia-vida e constante de decaimento: pela definição de meia-vida sabemos que em t=T_{1/2} a quantidade reduz para metade, ou seja N(T_{1/2})=N_0/2. Substituindo na fórmula exponencial:
\frac{N_0}{2}=N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural:
-\lambda T_{1/2}=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2
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\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Substituindo T_{1/2}=5730 anos, temos
\lambda=\frac{\ln 2}{5730}.

Passo 4

Usamos a razão observada \dfrac{N(t)}{N_0}=\dfrac{1}{6}. Pela lei do decaimento:
\frac{1}{6}=e^{-\lambda t}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\frac{1}{6}\right)=-\lambda t \quad\Rightarrow\quad t=-\frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{1}{6}\right).
Como \ln\!\left(\dfrac{1}{6}\right)=-\ln 6, isso simplifica para
t=\frac{\ln 6}{\lambda}.

Passo 5

Substituímos \lambda=\dfrac{\ln 2}{5730} na expressão de t:
t=\frac{\ln 6}{\lambda}=\frac{\ln 6}{\ln 2}\cdot 5730.
Observe que \dfrac{\ln 6}{\ln 2}=\log_2 6\approx 2,5849625. Portanto
t\approx 5730\times 2,5849625 \approx 14811,8\\ \text{anos}.
Arredondando de forma conveniente (uma casa inteira é suficiente aqui), obtemos aproximadamente 14812 anos. Se preferir, pode escrever em notação científica: \approx 1,48\times 10^{4} anos.

Resposta

\approx 14812 anos

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