(Datação por carbono radiativo) Carbono extraído de um crânio b) antigo continha apenas um sexto do
radiativo do que o carbono extraído de um osso atual. Qual a idade do crânio?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: o carbono
extraído de um crânio antigo contém somente um sexto do
radiativo presente em um osso atual. A pergunta é: qual a idade do crânio?
Informações relevantes fornecidas e assumidas:
Informações relevantes fornecidas e assumidas:
- Fração de
restante em relação ao original (ou ao atual): . - Valor padrão do tempo de meia-vida do
(que usaremos): anos.
Passo 2
Conceito básico e fórmula que descreve o decaimento radioativo: a quantidade de núcleos radioativos decresce exponencialmente com o tempo segundo
onde:
-
é a quantidade (ou atividade) que resta no tempo , -
é a quantidade inicial (ou a quantidade em um material “atual”), -
é a constante de decaimento (medida em ), -
é o tempo decorrido (em anos).
Essa fórmula vem da equação diferencial básica do decaimento:, cuja solução é a exponencial acima. Não assuma nada: na prova escreva essa explicação curtinha se precisar justificar a fórmula.
Passo 3
Relação entre meia-vida e constante de decaimento: pela definição de meia-vida sabemos que em
a quantidade reduz para metade, ou seja
. Substituindo na fórmula exponencial:
Tomando logaritmo natural:
logo
Substituindo
anos, temos
Passo 4
Usamos a razão observada
. Pela lei do decaimento:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Substituímos
na expressão de
:
Observe que
. Portanto
Arredondando de forma conveniente (uma casa inteira é suficiente aqui), obtemos aproximadamente
anos. Se preferir, pode escrever em notação científica:
anos.