dd x|x^2+x|=|2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de lvert x^2+xrvert. O conteúdo é a regra da cadeia aplicada à função valor absoluto, para a qual precisamos usar a fórmula
ddxllvert u(x)rrvert ;=; u'(x),sgnl(u(x)r),
onde sgn(y)=1 se y>0 e sgn(y)=-1 se y<0.

Passo 2

Definimos u(x)=x^2+x. Então
u'(x)=2x+1
e, para xneq -1,0,
ddxllvert x^2+xrrvert = (2x+1),sgnl(x^2+xr)

Passo 3

Para saber sgn(x^2+x) analisamos x^2+x=x(x+1):
  • Se x<-1 ou x>0, então x(x+1)>0 e sgn(x^2+x)=+1.
  • Se -1<x<0, então x(x+1)<0 e sgn(x^2+x)=-1.

Passo 4

Assim a derivada fica
ddxllvert x^2+xrrvert = 2x+1, & x<-1 ou x>0, -(2x+1), & -1<x<0,
e não existe em x=-1 nem em x=0.

Passo 5

Compare com lvert 2x+1rvert: por exemplo em x=-0,25 temos
ddxllvert x^2+xrrvertg|x=-0,25 = -l(2(-0,25)+1r)=-0,5, llvert 2(-0,25)+1rrvert=+0,5,
logo os valores não coincidem.

Resposta

A igualdade
ddxllvert x^2+xrrvert = lvert 2x+1rvert
é falsa. A derivada correta é
ddxllvert x^2+xrrvert =(2x+1),sgn(x^2+x)
com a definição de sgn dada acima.

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