Passo 1
O enunciado pede a derivada de
lvert x^2+xrvert . O conteúdo é a regra da cadeia aplicada à função valor absoluto, para a qual precisamos usar a fórmula
onde
sgn(y)=1 se
y>0 e
sgn(y)=-1 se
y<0 .
Passo 2
Definimos
u(x)=x^2+x . Então
e, para
xneq -1,0 ,
Passo 3
Para saber
sgn(x^2+x) analisamos
x^2+x=x(x+1) :
- Se
oux<-1 , entãox>0 ex(x+1)>0 .sgn(x^2+x)=+1 - Se
, então-1<x<0 ex(x+1)<0 .sgn(x^2+x)=-1
Passo 4
Assim a derivada fica
e não existe em
x=-1 nem em
x=0 .
Passo 5
Compare com
lvert 2x+1rvert : por exemplo em
x=-0,25 temos
logo os valores não coincidem.
Resposta
A igualdade
é falsa. A derivada correta é
com a definição de
sgn dada acima.