[Decaimento Exponencial - Radioatividade] Se
indica a quantidade de uma substância radioativa em um tempo
, então sua taxa de variação,
, é proporcional à quantidade de substância presente, para alguma constante
que depende do material.
(a) Mostre que
.
(b) A constante
para o rádio é dada por
. Sabendo que em
, há 2 gramas desta substância em um laboratório, determine quanto restará desta substância 100 anos depois.
(c) A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo no qual metade da substância dada desaparece. Calcule, em anos, a meia-vida do rádio.
(a) Mostre que
(b) A constante
(c) A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo no qual metade da substância dada desaparece. Calcule, em anos, a meia-vida do rádio.
Passo 1
O enunciado diz que a taxa de variação de
é proporcional à própria quantidade, ou seja
onde
é uma constante que depende do material. Isso caracteriza uma equação diferencial de primeira ordem com solução exponencial. Vamos (a) obter a forma geral
, (b) aplicar a condição inicial para calcular a quantidade em 100 anos e (c) encontrar a meia-vida.
Passo 2
Para resolver
separamos variáveis:
e integramos ambos os lados:
Exponenciando, obtemos
onde definimos
.
Passo 3
Para o rádio tem-se
e
. Logo
Em 100 anos (convertendo em segundos:
),
temos
temos
Passo 4
A meia-vida
satisfaz
Convertendo para anos (
):
Resposta
(a)
(b) Aproximadamente
(c) Cerca de
(b) Aproximadamente
(c) Cerca de