[Decaimento Exponencial - Radioatividade] Se Q(t) indica a quantidade de uma substância radioativa em um tempo t, então sua taxa de variação, d Qd t, é proporcional à quantidade de substância presente, para alguma constante k que depende do material.
(a) Mostre que Q(t)=c e^k t.
(b) A constante k para o rádio é dada por -1,4 cdot 10^-11 s^-1. Sabendo que em t=0, há 2 gramas desta substância em um laboratório, determine quanto restará desta substância 100 anos depois.
(c) A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo no qual metade da substância dada desaparece. Calcule, em anos, a meia-vida do rádio.

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de variação de ,Q(t) é proporcional à própria quantidade, ou seja
dQdt=k,Q(t),
onde k é uma constante que depende do material. Isso caracteriza uma equação diferencial de primeira ordem com solução exponencial. Vamos (a) obter a forma geral Q(t)=c,e^kt, (b) aplicar a condição inicial para calcular a quantidade em 100 anos e (c) encontrar a meia-vida.

Passo 2

Para resolver
dQdt=k,Q(t)
separamos variáveis:
dQQ = k,dt,
e integramos ambos os lados:
integral dQQ = integral k,dt Longrightarrow ln|Q| = kt + C
Exponenciando, obtemos
Q(t) = e^kt + C = c,e^kt,
onde definimos c = e^C.

Passo 3

Para o rádio tem-se k=-1,4cdot10^-11,s^-1 e Q(0)=2,g. Logo
c = Q(0) = 2
Em 100 anos (convertendo em segundos:
t=100times365times24times3600=3,1536times10^9,s),
temos
Q(100 a) = 2,e^-1,4cdot10^-11times3,1536times10^9 =2,e^-0,0441504 approx2times0,95684 approx1,9137 g

Passo 4

A meia-vida T1/2 satisfaz
Q(T1/2)Q(0)=12 Longrightarrow e^kT1/2=12 Longrightarrow k,T1/2=ln12=-ln2
T1/2=-ln2k =ln21,4cdot10^-11 s approx0,69311,4cdot10^-11 =4,951times10^10,s
Convertendo para anos ( 1,a=3,1536times10^7,s):
T1/2approx4,951times10^103,1536times10^7 approx1570 anos

Resposta

(a) Q(t)=c,e^kt
(b) Aproximadamente 1,91 g
(c) Cerca de 1570 anos

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