Q.8) O decaimento do isótopo radioativo plutônio 241 satisfaz à equação diferencial
\frac{d Q}{d t}=-0,0525 Q .
a) Determine a meia-vida desta substância.
b) Se hoje dispusermos de 50 mg desta substância, quanto restará dela depois de decorridos 10 anos?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial do decaimento exponencial do plutônio 241:
\frac{dQ}{dt} = -0,0525\,Q
e pede (a) a meia-vida e (b) quanto sobra de 50,mg após 10 anos. Vamos usar a solução geral de uma equação de decaimento exponencial.

Passo 2

Separe variáveis e integre:
\frac{dQ}{Q} = -0,0525\,dt.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{dQ}{Q} = \int -0,0525\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|Q| = -0,0525\,t + C.
Exponentiando,
Q(t) = Q(0)\,e^{-0,0525\,t}.

Passo 3

A meia-vida T_{1/2} satisfaz Q(T_{1/2}) = \tfrac12\,Q(0). Logo,
\tfrac12 = e^{-0,0525\,T_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad -0,0525\,T_{1/2} = \ln\bigl(\tfrac12\bigr) = -\ln2
T_{1/2} = \frac{\ln2}{0,0525} \approx \frac{0,6931}{0,0525} \approx 13,2\text{ anos}.

Passo 4

Com Q(0)=50,mg, após t=10 anos:
Q(10) = 50\,e^{-0,0525\cdot10} = 50\,e^{-0,525} \approx 50 \times 0,5916 \approx 29,6\text{ mg}.

Resposta

(a) A meia-vida é aproximadamente 13,2 anos.
(b) Após 10 anos restarão cerca de 29,6 mg.

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