Determine as soluções particulares das equações diferenciais listadas a seguir:
\frac{d y}{d x}=\frac{(1-2 x)}{y} ; y(1)=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2x}{y}
com condição inicial y(1) = -2. O conteúdo é separação de variáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
y\,dy = (1 - 2x)\,dx
e então integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int (1 - 2x)\,dx.

Passo 3

Calculando as integrais,
\frac{y^2}{2} = x - x^2 + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 2, obtemos
y^2 = -2x^2 + 2x + C_1,
com C_1 = 2C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1) = -2. Substituindo x=1 e y=-2 em
y^2 = -2x^2 + 2x + C_1
4 = -2 + 2 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 4.

Passo 5

A solução implícita particular é
y^2 = -2x^2 + 2x + 4.
Assim as soluções gerais são
y(x) = \pm \sqrt{-2x^2 + 2x + 4}.
Para satisfazer y(1)=-2, escolhemos o sinal negativo:
y(x) = -\sqrt{-2x^2 + 2x + 4}.

Resposta

y(x) = -\sqrt{-2x^2 + 2x + 4}.

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