Q.11) Em um depósito há 100 litros de solução aquosa que contém 10 kg de sal. A água é despejada neste com velocidade de 3 \mathrm{~L} / \mathrm{min} e se expulsa a velocidade de 2 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, sendo que a concentração é mantida homogênea mexendo-se a água. Quanto de sal haverá no depósito depois de transcorrida uma hora? Aproxime com duas casas decimais.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com volume inicial de 100 L contendo 10 kg de sal. Entra água pura a 3 L/min e sai mistura a 2 L/min, com concentração homogênea. Queremos achar a quantidade de sal S(t) após t=60 min.

Passo 2

Definimos o volume no tempo t como V(t). Como a vazão de entrada é 3 L/min e a de saída é 2 L/min, temos
\frac{dV}{dt}=3-2=1,
com V(0)=100. Integrando,
V(t)=100+t.

Passo 3

Fazendo balanço de sal, a entrada não carrega sal (água pura), e a saída remove sal à concentração \tfrac{S(t)}{V(t)} multiplicada pela vazão 2 L/min. Logo,
\frac{dS}{dt}=0-2\cdot\frac{S(t)}{V(t)}=-2\,\frac{S(t)}{100+t}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{dS}{S}=-2\,\frac{dt}{100+t}.
Integrando de 0 a t:
\ln S=-2\ln(100+t)+C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial S(0)=10, de onde
\ln(10)= -2\ln(100)+C \quad\Rightarrow\quad C=\ln(10)+2\ln(100)=\ln\bigl(10\cdot100^2\bigr)=\ln(100000).
Então
S(t)=100000\,(100+t)^{-2}.

Passo 6

Para t=60 min,
S(60)=\frac{100000}{(100+60)^2}=\frac{100000}{160^2}=\frac{100000}{25600}=3,90625.
Arredondando para duas casas decimais, fica 3,91 kg.

Resposta

A quantidade de sal após uma hora é aproximadamente 3,91 kg.

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