Determine as soluções particulares das equações diferenciais listadas a seguir:
\frac{d y}{d x}=x y^{3}\left(1+x^{2}\right)^{-1 / 2} ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = x\,y^{3}\,\bigl(1+x^{2}\bigr)^{-1/2}
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo aqui é ODE separável: vamos separar variáveis y e x e integrar para obter a solução geral, depois aplicar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Separemos as variáveis. Escrevemos
\frac{dy}{dx} = x\,y^{3}\,\bigl(1+x^{2}\bigr)^{-1/2}
como
\frac{dy}{y^{3}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{-3}\,dy = \int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
No lado esquerdo,
\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2\,y^{2}}.
No lado direito, use u=1+x^{2}, du=2x\,dx:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{2}\,\frac{du}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} + C = \sqrt{1+x^{2}} + C.
Logo a solução implícita é
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Em x=0, \sqrt{1+0^{2}}=1 e y(0)=1, então
-\frac{1}{2\cdot1^{2}} = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac12 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac32.
Substituindo em
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} - \tfrac32.

Passo 5

Resolvendo para y:
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} - \tfrac32 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y^{2}} = 3 - 2\,\sqrt{1+x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{1}{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}.
Como y(0)=1>0, tomamos o ramo positivo:
y(x) = \frac{1}{\sqrt{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{\sqrt{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}}.

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