Nos itens abaixo esboce a região de integração e calcule a integral dupla, mudando a ordem de integração caso seja necessário:
, onde
é a região acima do eixo do
e dentro da circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região acima do eixo
e por dentro da circunferência
.
O conteúdo principal é integral dupla em coordenadas polares, já que em retangulares essa integral não tem antiderivada elementar simples.
O conteúdo principal é integral dupla em coordenadas polares, já que em retangulares essa integral não tem antiderivada elementar simples.
Passo 2
A região
em coordenadas retangulares é
ou seja, é o semicírculo de raio
para
. Se desenharmos, vemos um “meio-disco” centrado na origem, estendendo-se de
a
em
e de
a
em
.
Passo 3
Em coordenadas retangulares, poderíamos escrever
mas essa integral interna em
não é elementar. Portanto, mudamos para coordenadas polares, onde
,
e
.
Passo 4
Em coordenadas polares a região fica
pois cobrimos todo o semicírculo superior. A integral passa a ser
Passo 5
Primeiro integramos em
, que é trivial:
Fica então
Para resolver
, use a substituição
,
, logo
. Os limites em
vão de
a
. Assim,
Passo 6
Multiplicando pelo fator
que saiu da integral em
, obtemos