Nos itens abaixo esboce a região de integração e calcule a integral dupla, mudando a ordem de integração caso seja necessário:
integral duplaR cos (x^2+y^2) d A, onde R é a região acima do eixo do x e dentro da circunferência x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRcosl(x^2+y^2r),dA,
onde R é a região acima do eixo x e por dentro da circunferência x^2+y^2=9.
O conteúdo principal é integral dupla em coordenadas polares, já que em retangulares essa integral não tem antiderivada elementar simples.

Passo 2

A região R em coordenadas retangulares é
R=l(x,y)mid -3<= x<= 3,;0<= y<= raiz9-x^2r,
ou seja, é o semicírculo de raio 3 para y>=0. Se desenharmos, vemos um “meio-disco” centrado na origem, estendendo-se de -3 a 3 em x e de 0 a 3 em y.

Passo 3

Em coordenadas retangulares, poderíamos escrever
integral duplaRcos(x^2+y^2),dA =integralx=-3^3integraly=0^raiz9-x^2cos(x^2+y^2),dy,dx,
mas essa integral interna em y não é elementar. Portanto, mudamos para coordenadas polares, onde x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 4

Em coordenadas polares a região fica
0<= r<= 3, 0<=theta<= pi,
pois cobrimos todo o semicírculo superior. A integral passa a ser
integral duplaRcosl(x^2+y^2r),dA =integraltheta=0^piintegralr=0^3cosl(r^2r),r,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em theta, que é trivial:
integral0^pidtheta=pi
Fica então
piintegral0^3rcosl(r^2r),dr
Para resolver integral0^3rcos(r^2),dr, use a substituição u=r^2, du=2r,dr, logo r,dr=du/2. Os limites em u vão de 0 a 9. Assim,
integral0^3rcos(r^2),dr =12integral0^9cos(u),du =12l[sin(u)r]0^9 =12sin(9)

Passo 6

Multiplicando pelo fator pi que saiu da integral em theta, obtemos
integral duplaRcos(x^2+y^2),dA =picdot12sin(9) =pi2,sin(9)

Resposta

boxedpi2,sin(9)

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