4. Intensidade do Sinal 5G

A perda de intensidade do sinal de uma rede segue a equação S(d)=S_{0} e^{-k d}. Se a intensidade cai para 25 \% do valor inicial após 100 metros, determine k e a distância para que a intensidade caia para 10 \% do valor inicial.

Passo 1

O enunciado dá a lei de atenuação exponencial da intensidade do sinal
S(d) = S_{0} \,e^{-k d},
onde S_{0} é a intensidade inicial e k é a constante de atenuação.
Precisamos usar a condição de que em d=100 m a intensidade cai para 25\% de S_{0}, isto é, S(100)=0{,}25\,S_{0}, para encontrar k. Em seguida, determinamos a distância d tal que S(d)=0{,}10\,S_{0}.

Passo 2

Usando S(100)=0{,}25\,S_{0} temos
S(100)=S_{0}e^{-k\cdot100}=0{,}25\,S_{0}
Dividindo por S_{0} e aplicando logaritmo natural,
e^{-100k}=0{,}25
-100k=\ln(0{,}25)
k=-\frac{1}{100}\,\ln(0{,}25)=\frac{\ln(4)}{100}
Numericamente,
k\approx\frac{1{,}386294}{100}=0{,}0138629\;\text{m}^{-1}\approx0{,}0139\;\text{m}^{-1}.

Passo 3

Queremos d tal que S(d)=0{,}10\,S_{0}, ou seja
e^{-k d}=0{,}10
Tomando logaritmo natural,
-k\,d=\ln(0{,}10)
d=-\frac{\ln(0{,}10)}{k}=\frac{\ln(10)}{k}
Substituindo k\approx0{,}0138629\;\text{m}^{-1},
d\approx\frac{2{,}302585}{0{,}0138629}\approx166{,}1\;\text{m}.

Resposta

k\approx0{,}0139\;\text{m}^{-1}
Distância para 10\%: d\approx166{,}1\;\text{m}.

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