Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os. \left\{\begin{array}{rl}3 x+3 y-2 z-t & =2 \\\\ 5 x+2 y+z-2 t & =1 \\\\ 2 x-y+3 z-t & =-1\end{array}, \quad(t)\left\{\begin{aligned} x+2 y-5 z+4 t & =0 \\\\ 2 x-3 y+2 z+3 t & =0, \\\\ 4 x-7 y+z-6 t & =0\end{aligned}\right.\right.
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver, pelo Método de Gauss–Jordan, e classificar os dois sistemas lineares dados. Listei abaixo cada sistema (as incógnitas são [x,y,z,t) em ambos):
Informações relevantes dadas: ambos têm 3 equações e 4 incógnitas; em A os termos independentes são (2,1,-1)\] e em B todos os termos independentes são \(0. O objetivo para cada sistema é:
aplicar Gauss–Jordan (ou seja, reduzir a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas),
obter a solução geral (se existir),
e classificar (única, infinita de soluções, ou sem solução).]
Passo 2
Breve lembrança didática do Método de Gauss–Jordan (útil para a prova): transformamos a matriz aumentada do sistema usando apenas operações elementares de linha:
trocar duas linhas,
multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo é obter a forma reduzida por linhas (RREF), em que temos pivôs iguais a 1 e zeros acima e abaixo de cada pivô. Cada pivô corresponde a uma variável “básica”; colunas sem pivô correspondem a variáveis livres (parâmetros).
Classificação do Sistema A: há duas variáveis livres (z e t), o posto (rank) da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas independentes), que é menor que o número de incógnitas 4. Portanto o sistema é consistente e tem infinitas soluções (um espaço afim de dimensão 2).
Classificação do Sistema B: é homogêneo, o posto é 3 (três pivôs, nas colunas x,y,z), menor que o número de incógnitas 4. Portanto tem infinitas soluções; além da solução trivial \vec{0}, existem soluções não-triviais (o espaço solução é uma reta unidimensional, parâtrica por s).