Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(f) ( ) Se A A^T é uma matriz singular (nãao inversível), então A não é inversível.

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se a afirmação
“Se A A^T é singular (não inversível), então A não é inversível”
é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Vamos usar propriedades de determinante e de produto de matrizes.

Passo 2

Lembramos que, para qualquer matriz quadrada A, vale
det(A A^T) = det(A),det(A^T)

Passo 3

Como det(A^T) = det(A), segue que
det(A A^T) = det(A),det(A) = l(det(A)r)^2

Passo 4

Se A A^T é singular, então det(A A^T) = 0. Daí
l(det(A)r)^2 = 0 Longrightarrow det(A)=0,
o que significa que A é singular (não inversível). Assim a implicação vale sempre.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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