Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(e) ( ) Se é uma matriz quadrada e tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente tem uma coluna constituída somente de zeros.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a seguinte afirmação é sempre verdadeira ou às vezes falsa, e justificar com argumento lógico ou contraexemplo:
“Afin A é matriz quadrada e tem uma coluna toda zero. Então tem necessariamente uma coluna toda zero.”
O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes, interpretação de colunas de e conceito de núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Note que a coluna de índice de pode ser escrita como
onde é a coluna de . Se , então
ou seja, a coluna está no núcleo de . Mas isso não obriga ; pode haver vetores não nulos no núcleo de .
Passo 3
Para ver que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo. Considere
As colunas de A são 11 e -1-1, ambas não nulas. Porém
A^2 = 1 & -11 & -1 1 & -11 & -1 = 0 & 00 & 0,
logo A^2 tem colunas zero mesmo sem A ter coluna zero.