Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(e) ( ) Se A é uma matriz quadrada e A^2 tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente A tem uma coluna constituída somente de zeros.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a seguinte afirmação é sempre verdadeira ou às vezes falsa, e justificar com argumento lógico ou contraexemplo:
“Afin A é matriz quadrada e A^2 tem uma coluna toda zero. Então A tem necessariamente uma coluna toda zero.”
O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes, interpretação de colunas de A^2 e conceito de núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Note que a coluna de índice j de A^2 pode ser escrita como
(A^2)cdot j ;=; A,(Acdot j),
onde Acdot j é a coluna j de A. Se (A^2)cdot j=0, então
A,(Acdot j) = 0,
ou seja, a coluna Acdot j está no núcleo de A. Mas isso não obriga Acdot j=0; pode haver vetores não nulos no núcleo de A.

Passo 3

Para ver que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo. Considere
A = 1 & -1 1 & -1
As colunas de A são
11 e -1-1, ambas não nulas. Porém
A^2 = 1 & -11 & -1 1 & -11 & -1 = 0 & 00 & 0,
logo A^2 tem colunas zero mesmo sem A ter coluna zero.

Resposta

A afirmação é falsa.

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