T: M(2,2) longrightarrow R, T([lla & b c & d])=det[lla & b c & d]

Passo 1

O enunciado define
Tcolon M(2,2)toR
por
Tl(a & b c & dr) =det!a & b c & d =ad-bc
O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaço vetorial; vamos verificar se T satisfaz as duas propriedades de linearidade.

Passo 2

Uma aplicação T é linear se, para quaisquer matrizes A,Bin M(2,2) e qualquer escalar lambdainR, valerem
  1. T(A+B)=T(A)+T(B) (aditividade),
  2. T(lambda A)=lambda,T(A) (homogeneidade).

Passo 3

Teste de aditividade. Seja
A = B = I = 1 & 0 0 & 1
Então
A+B = 2I = 2 & 0 0 & 2,
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T(A+B)=det(2I)=2cdot2=4, T(A)+T(B)=det(I)+det(I)=1+1=2
Como 4neq2, a aditividade falha.

Passo 4

Teste de homogeneidade. Seja lambda=2 e A=I. Então
T(2A)=det(2I)=4, 2,T(A)=2cdotdet(I)=2cdot1=2
Como 4neq2, a homogeneidade também falha.

Resposta

A transformação T não é linear.

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