Determinar o ângulo alpha formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo theta quando:
v=(raiz22 raiz2, raiz24, raiz22) e theta=60^circ

Passo 1

O enunciado pede o ângulo alpha entre vec v e T(vec v), onde T é a rotação em torno do eixo z de ângulo theta=60^circ. Para isso usaremos o produto escalar em R^3 e a fórmula
cosalpha ;=;vec vcdot T(vec v)|vec v|^2

Passo 2

Primeiro simplificamos as componentes de vec v:
vec v=l(tfracraiz22raiz2,;tfracraiz24,;tfracraiz22r)
Como tfracraiz22raiz2=tfrac12, fica
vec v = l(tfrac12,;tfracraiz24,;tfracraiz22r)

Passo 3

A rotação em torno de z só muda as componentes x,y. Se
,(x,y,z)=vec v, então
T(vec v)=l(xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycostheta,;zr)

Passo 4

Usamos a identidade
vec vcdot T(vec v);=;(x^2+y^2)costheta ;+;z^2
Calculamos
x^2+y^2 = l(tfrac12r)^2 + l(tfracraiz24r)^2 = tfrac14 + tfrac18 = tfrac38, z^2 = l(tfracraiz22r)^2 = tfrac12,
e como cos60^circ=tfrac12 vem
vec vcdot T(vec v) = tfrac38cdottfrac12 + tfrac12 = tfrac316 + tfrac816 = tfrac1116

Passo 5

Também
|vec v|^2 = x^2+y^2+z^2 = tfrac38 + tfrac12 = tfrac78
Logo
cosalpha = 11/167/8 = 1114,
e
alpha = arccos!l(tfrac1114r)approx 38,21^circ

Resposta

alpha = arccos!l(tfrac1114r)approx 38,21^circ

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