Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha uma única solução, infinitas soluções e não tenha soluções:
a) cx+y-z=1 2 x+3 y+k z=3 x+k y+3 z=2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x + y - z = 1, 2x + 3y + k,z = 3, x + k,y + 3z = 2,
e pede os valores de k para os quais o sistema tem solução única, infinitas soluções ou não tem solução. Vamos usar determinantes e eliminação de Gauss para analisar cada caso.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & -1 2 & 3 & k 1 & k & 3
e calculamos seu determinante.
det(A) = 1 & 1 & -1 2 & 3 & k 1 & k & 3 =1cdotl(3cdot3 - kcdot kr) -1cdotl(2cdot3 - kcdot1r) +(-1)cdotl(2cdot k -3cdot1r)
Simplificando:
det(A)= (9 - k^2) - (6 - k) - (2k -3) =9 - k^2 -6 + k -2k +3 = -,k^2 - k +6 = (k+3)(2-k)

Passo 3

Quando det(A)neq0, ou seja kneq2 e kneq-3, o sistema tem uma única solução.

Passo 4

Para k=2 temos
A= 1 & 1 & -1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 3 , b=132
Eliminando:
1 & 1 & -1 &|&1 2 & 3 & 2 &|&3 1 & 2 & 3 &|&2 to 1 & 1 & -1 &|&1 0 & 1 & 4 &|&1 0 & 1 & 4 &|&1 to 1 & 1 & -1 &|&1 0 & 1 & 4 &|&1 0 & 0 & 0 &|&0
A matriz ampliada tem posto 2 e a de coeficientes também tem posto 2, logo há infinitas soluções.

Passo 5

Para k=-3 temos
A= 1 & 1 & -1 2 & 3 & -3 1 & -3 & 3 , b=132
Eliminando:
1 & 1 & -1 &|&1 2 & 3 & -3 &|&3 1 & -3& 3 &|&2 to 1 & 1 & -1 &|&1 0 & 1 & -1 &|&1 0 & -4& 4 &|&1 to 1 & 1 & -1 &|&1 0 & 1 & -1 &|&1 0 & 0 & 0 &|&5
Surge a equação 0=5, impossível, logo o sistema não tem solução.

Resposta

única solução para kneq2,,-3
infinitas soluções para k=2
sem soluções para k=-3

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