Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (ás vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
f) ( ) Se
é uma matriz tal que
, então os sistemas lineares
e
são equivalentes.
f) ( ) Se
Passo 1
O enunciado diz que
satisfaz
e pede para decidir se os sistemas lineares
são equivalentes. Vamos usar propriedades de simetria e idempotência de matrizes para comparar esses dois sistemas.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é simétrica. Aplicando a transposição em ambos os lados de
obtemos
Mas a hipótese original é
. Logo
ou seja,
é simétrica.
Passo 3
Agora, usando
na identidade
, segue
Portanto
é idempotente (
).
Passo 4
Como
, para todo vetor
temos
Logo a equação
é exatamente a mesma que
Isto prova que os dois sistemas são equivalentes.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.