Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (ás vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
f) ( ) Se A é uma matriz tal que A^T A=A, então os sistemas lineares A X=b e A^2 X=b são equivalentes.

Passo 1

O enunciado diz que A satisfaz
A^TA = A,
e pede para decidir se os sistemas lineares
A,X = b e A^2X = b
são equivalentes. Vamos usar propriedades de simetria e idempotência de matrizes para comparar esses dois sistemas.

Passo 2

Mostramos primeiro que A é simétrica. Aplicando a transposição em ambos os lados de
A^TA = A
obtemos
(A^TA)^T = A^T Longrightarrow A^TA = A^T
Mas a hipótese original é A^TA = A. Logo
A = A^T,
ou seja, A é simétrica.

Passo 3

Agora, usando A^T=A na identidade A^TA=A, segue
A^2 = A,A = A^TA = A
Portanto A é idempotente ( A^2=A).

Passo 4

Como A^2=A, para todo vetor X temos
A^2X = A,X
Logo a equação
A^2X = b
é exatamente a mesma que
A,X = b
Isto prova que os dois sistemas são equivalentes.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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