Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (ás vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
e) ( ) Se C é uma matriz invertível tal que C A=C B, então os sistemas lineares A X=b e B X=b são equivalentes.

Passo 1

O enunciado diz: “Seja C uma matriz invertível tal que
C,A = C,B
mostre se os sistemas lineares
A,X = be B,X = b
são equivalentes.”
O conteúdo aqui é álgebra linear, em especial propriedades de matrizes invertíveis e sistemas lineares. Vamos usar o fato de que, se C é invertível e C,M=0, então M=0.

Passo 2

Da hipótese C,A = C,B subtraímos para obter
C,(A - B) = 0
Como C é invertível, multiplicamos pela inversa de C e concluímos
A - B = 0Longrightarrow A = B

Passo 3

Se A = B, os dois sistemas
A,X = be B,X = b
são exatamente o mesmo sistema. Logo qualquer solução de um é solução do outro, e vice-versa.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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