Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (ás vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
e) ( ) Se
é uma matriz invertível tal que
, então os sistemas lineares
e
são equivalentes.
e) ( ) Se
Passo 1
O enunciado diz: “Seja
uma matriz invertível tal que
mostre se os sistemas lineares
são equivalentes.”
O conteúdo aqui é álgebra linear, em especial propriedades de matrizes invertíveis e sistemas lineares. Vamos usar o fato de que, se é invertível e
, então
.
O conteúdo aqui é álgebra linear, em especial propriedades de matrizes invertíveis e sistemas lineares. Vamos usar o fato de que, se
Passo 2
Da hipótese
subtraímos para obter
Como
é invertível, multiplicamos pela inversa de
e concluímos
Passo 3
Se
, os dois sistemas
são exatamente o mesmo sistema. Logo qualquer solução de um é solução do outro, e vice-versa.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.