Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss e, em seguida, classifique-os.
b) cx+2 y-z=2 2 x-y+z=5 x+3 y+2 z=9 3 x-y+4 z=13

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema com quatro equações e três incógnitas:
Vamos usar o Método de Gauss para triangularizar a matriz ampliada e então classificar o sistema como compatível determinado (SCD), compatível indeterminado (SCI) ou incompatível (SI).

Passo 2

Escrevendo a matriz ampliada e eliminando x das linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô:
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 2 2 & -1 & 1 & 5 1 & 3 & 2 & 9 3 & -1 & 4 &13 ] ;xrightarrow,L2-2L1,;L3-L1,;L4-3L1,; [ccc|c 1 & 2 & -1 & 2 0 & -5 & 3 & 1 0 & 1 & 3 & 7 0 & -7 & 7 & 7 ]

Passo 3

Agora eliminamos y das linhas 3 e 4 usando a linha 2 ( L2) como pivô:
L3 L3 + tfrac15L2, L4 L4 - tfrac75L2
resultando em
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 2 0 & -5 & 3 & 1 0 & 0 & tfrac185 & tfrac365 0 & 0 & tfrac145 & tfrac285 ]

Passo 4

Das duas últimas linhas obtemos as equações
tfrac185z = tfrac365 e tfrac145z = tfrac285
Elas levam ambas a z=2, sem gerar contradição. Logo o posto da matriz de coeficientes é 3, igual ao posto da matriz ampliada e igual ao número de incógnitas. Isso implica que o sistema é compatível determinado (SCD), isto é, tem única solução.

Passo 5

Fazendo a retro-substituição:
z = 2,
da segunda linha original:
-5y + 3z = 1 ;Longrightarrow; -5y + 6 = 1 ;Longrightarrow; y = 1,
e da primeira linha original:
x + 2y - z = 2 ;Longrightarrow; x + 2cdot1 - 2 = 2 ;Longrightarrow; x = 2

Resposta

(x,y,z)=(2,1,2)
Classificação: sistema compatível determinado (SCD).

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