Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(h) ( ) A soma de duas matrizes inversíveis é sempre uma matriz inversível.

Passo 1

O enunciado pergunta se “a soma de duas matrizes inversíveis é sempre uma matriz inversível”. O conteúdo é álgebra linear, em particular o conceito de matriz invertível e propriedades de determinantes ou existência de inversa.

Passo 2

Uma matriz AinR^ntimes n é invertível se, e somente se, existe A^-1 tal que
A,A^-1=A^-1A=In,
o que equivale a det(A)neq0.

Passo 3

Basta um contraexemplo para mostrar que a afirmação não vale em geral. Considere
A = In, B = -In,
onde In é a matriz identidade de ordem n. Ambas são inversíveis pois det(In)=1neq0 e det(-In)=(-1)^nneq0. Porém
A + B = In + (-In) = 0ntimes n,
e det(0ntimes n)=0, logo A+B não é inversível.

Resposta

A afirmação é falsa.

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