Seja B in Mn(R). Mostre que
b) A matriz 12(B-B^T) é antissimétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dada uma matriz Bin Mn(R), a matriz
A ;=;12l(B - B^Tr)
é antissimétrica. O conteúdo principal aqui é a definição de matriz antissimétrica (ou skew-symmetric), e vamos usar propriedades de transposição.

Passo 2

Lembremos que uma matriz A é antissimétrica se, e somente se,
A^T = -,A
Logo, basta calcular a transposta de A e verificar que ela é igual a -A.

Passo 3

Calculemos a transposta de A:
A^T = l(tfrac12,(B - B^T)r)^T = tfrac12,(B - B^T)^T
Como (X - Y)^T = X^T - Y^T para quaisquer matrizes X,Y, temos
(B - B^T)^T = B^T - (B^T)^T = B^T - B
Portanto
A^T = tfrac12,(B^T - B) = -,tfrac12,(B - B^T) = -,A

Passo 4

Como mostramos que A^T = -A, concluímos pela definição que A é antissimétrica.

Resposta

A matriz 12l(B - B^Tr) satisfaz l(tfrac12(B - B^T)r)^T = -,tfrac12(B - B^T), logo é antissimétrica.

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