Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(d) ( ) Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então
tem duas linhas idênticas.
(d) ( ) Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então
Passo 1
O enunciado pergunta se, sempre que uma matriz quadrada
tem duas linhas idênticas (digamos a linha
e a linha
), a matriz
também terá essas mesmas duas linhas idênticas. O conteúdo envolvido é a definição de multiplicação de matrizes, em particular a maneira como se obtém a
-ésima linha de um produto de matrizes.
Passo 2
Lembrando que, para duas matrizes compatíveis
e
, a
-ésima linha de
é dada pelo produto da
-ésima linha de
pela matriz
. Em fórmulas,
onde
denota a
-ésima linha de
vista como vetor linha.
Passo 3
No caso de
, a
-ésima linha de
é
e a
-ésima linha de
é
Se as linhas
e
de
são idênticas, isto é,
, então
Logo, as linhas
e
de
também coincidem.
Passo 4
Concluímos que sempre que
tem duas linhas idênticas,
também terá essas duas linhas idênticas, sem exceção.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.