Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(d) ( ) Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então A^2 tem duas linhas idênticas.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que uma matriz quadrada A tem duas linhas idênticas (digamos a linha i e a linha j), a matriz A^2 também terá essas mesmas duas linhas idênticas. O conteúdo envolvido é a definição de multiplicação de matrizes, em particular a maneira como se obtém a i-ésima linha de um produto de matrizes.

Passo 2

Lembrando que, para duas matrizes compatíveis A e B, a i-ésima linha de AB é dada pelo produto da i-ésima linha de A pela matriz B. Em fórmulas,
(AB)i,* = Ai,*,B,
onde Ai,* denota a i-ésima linha de A vista como vetor linha.

Passo 3

No caso de A^2 = Acdot A, a i-ésima linha de A^2 é
(A^2)i,* = Ai,*,A,
e a j-ésima linha de A^2 é
(A^2)j,* = Aj,*,A
Se as linhas i e j de A são idênticas, isto é, Ai,*=Aj,*, então
(A^2)i,* = Ai,*,A = Aj,*,A = (A^2)j,*
Logo, as linhas i e j de A^2 também coincidem.

Passo 4

Concluímos que sempre que A tem duas linhas idênticas, A^2 também terá essas duas linhas idênticas, sem exceção.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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