Determine se b está no espaço-coluna de A e, se estiver, expresse b como combinação linear dos vetores-coluna de A.
(d) A=[rrr1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 -1 & -1 & 1] ; b=[l2 0 0]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 -1 & -1 & 1
e o vetor
b = 200.
Ele pede para verificar se b pertence ao espaço-coluna de A e, em caso afirmativo, escrever b como combinação linear das colunas de A. Para isso, vamos resolver o sistema linear
Ax = b,
pois b está no espaço-coluna de A se e somente se esse sistema for consistente.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada e aplicamos eliminação de Gauss:
[rrr|r 1 & -1 & 1 & 2 1 & 1 & -1 & 0 -1 & -1 & 1 & 0 ]
Subtraindo a primeira linha da segunda ( R2 R2 - R1) e somando a primeira linha à terceira ( R3 R3 + R1), obtemos
[rrr|r 1 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & -2 & -2 0 & -2 & 2 & 2 ]
Em seguida somamos a segunda linha à terceira ( R3 R3 + R2):
[rrr|r 1 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & -2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Da segunda linha temos
2x2 - 2x3 = -2 Longrightarrow x2 - x3 = -1 Longrightarrow x2 = x3 - 1
Da primeira linha
x1 - x2 + x3 = 2 Longrightarrow x1 = 2 + x2 - x3 = 2 + (x3 -1) - x3 = 1
Portanto o sistema é consistente (linha zero dá 0=0) e a solução geral é
x1 = 1, x2 = x3 - 1, x3 livre

Passo 4

Para obter uma combinação explícita, basta escolher um valor para x3. Por exemplo, se tomarmos x3 = 1 então
x2 = 1 - 1 = 0,
e
x = 101
Isso significa
b = 111-1 +0-11-1 +11-11

Resposta

Sim, b pertence ao espaço-coluna de A. Uma expressão de b como combinação linear das colunas de A é
b = 11-1 + 1-11

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