Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(c) ( ) Se a soma de matrizes A B+B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que a soma de matrizes AB + BA estiver definida, isso obriga A e B a serem quadradas. O conteúdo envolve as condições de existência de produto e soma de matrizes, ou seja, regra de compatibilidade de dimensões para multiplicação e adição.

Passo 2

Suponha que A seja de dimensão mtimes n e B de dimensão ptimes q.
Para o produto AB existir, é necessário que o número de colunas de A iguale o número de linhas de B:
n = p,
e então AB terá dimensão mtimes q.
Para o produto BA existir, é necessário que o número de colunas de B iguale o número de linhas de A:
q = m,
e então BA terá dimensão ptimes n.
Para a soma AB + BA estar definida, é preciso que as duas matrizes tenham a mesma dimensão:
m = p e q = n

Passo 3

Reunindo as quatro igualdades
n = p, q = m, m = p, q = n,
vemos que m = p = n = q. Portanto A tem dimensão mtimes m e B tem dimensão mtimes m, isto é, ambas são matrizes quadradas.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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