Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(c) ( ) Se a soma de matrizes
estiver definida, então
e
devem ser matrizes quadradas.
(c) ( ) Se a soma de matrizes
Passo 1
O enunciado pergunta se, sempre que a soma de matrizes
estiver definida, isso obriga
e
a serem quadradas. O conteúdo envolve as condições de existência de produto e soma de matrizes, ou seja, regra de compatibilidade de dimensões para multiplicação e adição.
Passo 2
Suponha que
seja de dimensão
e
de dimensão
.
Para o produto existir, é necessário que o número de colunas de
iguale o número de linhas de
:
Para o produto
e então
terá dimensão
.
Para o produto existir, é necessário que o número de colunas de
iguale o número de linhas de
:
Para o produto
e então
terá dimensão
.
Para a soma estar definida, é preciso que as duas matrizes tenham a mesma dimensão:
Para a soma
Passo 3
Reunindo as quatro igualdades
vemos que
. Portanto
tem dimensão
e
tem dimensão
, isto é, ambas são matrizes quadradas.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.