Determine se w=(x1, x2, x3, x4) x1+2 x2+3 x3+4 x4=0 é um subespacio do R^4. Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
w = (x1,x2,x3,x4)in R^4mid x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
O conteúdo é análise de subespaço vetorial em R^4. Para mostrar que w é subespaço, vamos usar a caracterização de núcleo de uma transformação linear (verificar que contém o vetor zero e é fechado em soma e multiplicação por escalar).

Passo 2

Mostramos que o vetor zero (0,0,0,0) pertence a w. De fato,
0 + 2cdot 0 + 3cdot 0 + 4cdot 0 = 0,
logo (0,0,0,0)in w.

Passo 3

Verificamos a clausura em relação à soma. Se
(u1,u2,u3,u4)in w e (v1,v2,v3,v4)in w, então
u1+2u2+3u3+4u4=0, v1+2v2+3v3+4v4=0
Somando as igualdades,
(u1+v1) + 2(u2+v2) + 3(u3+v3) + 4(u4+v4) = 0,
portanto (u+v)in w.

Passo 4

Verificamos a clausura em relação à multiplicação por escalar. Se (u1,u2,u3,u4)in w e alphain R, então
u1+2u2+3u3+4u4=0 ;Longrightarrow; alpha u1 + 2(alpha u2) + 3(alpha u3) + 4(alpha u4) = alpha,(u1+2u2+3u3+4u4) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha u in w.

Resposta

Sim. w é subespaço de R^4 porque é o núcleo da forma linear
ell(x1,x2,x3,x4) = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4,
e satisfaz as propriedades de conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação por escalar.

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