Determine se
é um subespacio do
. Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
O conteúdo é análise de subespaço vetorial em
. Para mostrar que
é subespaço, vamos usar a caracterização de núcleo de uma transformação linear (verificar que contém o vetor zero e é fechado em soma e multiplicação por escalar).
Passo 2
Mostramos que o vetor zero
pertence a
. De fato,
logo
.
Passo 3
Verificamos a clausura em relação à soma. Se
e
, então
Somando as igualdades,
portanto
.
Passo 4
Verificamos a clausura em relação à multiplicação por escalar. Se
e
, então
logo
.
Resposta
Sim.
é subespaço de
porque é o núcleo da forma linear
,
e satisfaz as propriedades de conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação por escalar.
e satisfaz as propriedades de conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação por escalar.