Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (ás vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(d) ( ) Se X1 e X2 são soluções do sistema linear A X=0, então X1-X2 é solução de A X=0.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear homogêneo
A X = 0
e afirma que se ,X1 e ,X2 são soluções (isto é, A X1=0 e A X2=0), então X1 - X2 também seria solução. O conteúdo aqui é a linearidade da transformação A (ou o fato de o espaço de soluções – o núcleo de A – ser um subespaço vetorial), que garante fechamento sob diferença de vetores.

Passo 2

Pela linearidade de A (ou distributividade da multiplicação de matriz), temos
A(X1 - X2) ;=; A X1 ;-; A X2
Como A X1 = 0 e A X2 = 0, segue
A(X1 - X2) = 0 - 0 = 0
Logo, X1 - X2 satisfaz A X=0 e é solução do sistema.

Resposta

Sempre verdadeira.

Exercícios relacionados